MATEMÁTICA - GEOMETRIA ANALÍTICA

(ESCOLA NAVAL 2021) - Seja o plano α : w = a + p . v + q . u, p,q ∈ ℝ, com a = (-1,1,1), v = (3,-2,1)  e u = (1,-1,2). O volume do tetraedro que possui vértices na origem (0,0,0) e nas intersecções de α com os eixos coordenados é igual a:


Considere como vetor as letras w,a e v (não consegui colocar a seta em cima das letras).
Gabarito: 1/3

Fala, Júlia. 

Seguinte, temos 1 ponto no plano A(-1,1,1) e dois vetores no plano (chamados vetores diretores) v = (3,-2,1) e u = (1,-1,2).

Para a achar a equação do plano na forma ax + by + cz + d = 0, uma ideia importante é fazer o produto vetorial V x U, achar um vetor perpendicular ao plano e, dado um ponto genérico P(x,y,z), definir o vetor AP de tal forma que (VxU).(AP) = 0 pois são vetores perpendiculares logo o produto escalar é nulo.
Assim:
VxU = [latex]\left[ \begin{array}{ccc} i & j & k \\ 3 & -2 & 1\\ 1 & -1 & 2 \end{array} \right][/latex]
Fazendo esse determinante, temos como resposta o vetor (-3,-5-1) que, para facilitar os cálculos, tem a mesma direção que o vetor (3,5,1).

Finalmente:
AP = (x+1,y-1,z-1) -> (x+1,y-1,z-1).(3,5,1) -> 3x + 5y +1z - 3 = 0.
Para fazer a interseção com o pares ordenados, temos: eixo x (y=0,z=0), eixo y(x=0,z=0) e eixo z(x=0,y=0) que nos dá, respectivamente, os pontos (1,0,0), (0,3/5,0) e (0,0,3). Essas coordenadas desses pontos são iguais aos vetores que os ligam à origem e, sabendo que o produto misto entre esses 3 vetores configura o volume de um paralelepípedo com lados correspondentes a esses 3 vetores, por uma proporção entre volumes temos que o volume do tetraedro é o volume do paralelepipedo dividido por 6.

(Volume do tetraedro = Ab*h/3 e Ab(tetraedro) = Ab(paralelepipedo)/2)

Vol(tetraedo) = [latex]\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3/5 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{array} \right][/latex] /6


Resposta: 3/10. Certeza que o gabarito está correto?