determinar raízes

1. Determine as raízes de [latex]f(x)=x^{4}-2x^{3}-3x^{2}+4x+4=0 sabendo que D_{1}= mdc\left [ f(x), f'(x) \right ] = x^{2}-x-2[/latex]

Boa noite!
Vou lhe propor duas soluções: a primeira, um pouco mais lógica e prática; a segunda, dentro do escopo que provavelmente o exercício queria que fosse desenvolvido. 

Primeira solução: sabe-se que, se g(x) = x² - x - 2 é mdc de p(x) = x⁴ - 2x³ - 3x² + 4x + 4, evidentemente, p(x) é divisível por g(x). Desse modo, sabendo-se que, p(x) = q(x)g(x) + r(x), tem-se que r(x) = 0 (o fato de ser divisível implica em resto nulo). A partir daí, pode-se escrever que: x⁴ - 2x³ - 3x² + 4x + 4 = q(x)(x² - x - 2) ⇒ q(x) = (x⁴ - 2x³ - 3x² + 4x + 4)/(x² - x - 2). 

Agora, basta realizar a divisão. Nos meus esboços, fiz por meio do Método da Chave. Não o vou descrever aqui, porque seria difícil representar. Uma rápida procurada na internet e você entende rapidinho o método, caso esteja com dúvidas. 

Bom, realizando a divisão, vê-se que q(x) = x² - x + 2. Note que, daí, podemos escrever que: p(x) = q(x)g(x) ⇒ p(x) = (x² - x - 2)². Ótimo, basta encontrar as raízes de (x² - x - 2)². Fazendo (x² - x - 2)² = 0, vem: x² - x - 2 = 0. Por Bhaskara, verifica-se que r₁ = -1 e r₂ = 2. 


Segunda solução: aqui, é necessário que saibamos um teorema referente às raízes comuns a dois polinômios. O teorema diz: "Se r é uma raiz dos polinômios f e g, então r é uma raiz do mdc(f, g)". Acredito que a partir daí, a ideia seria descobrir as raízes do mdc e realizar Briot-Ruffini em f(x), verificando que essas são as únicas raízes.

Não tenho muita certeza se, de fato, usaríamos f'(x) em alguma resolução, não consegui enxergar nada que me fizesse utilizar a derivada.





Deixo como complemento que, apesar do polinômio ser de 4º grau, ele possui apenas duas raízes. Esse fenômeno é caracterizado como multiplicidade de raízes. Nesse caso, dizemos que -1 e 2 são raízes de multiplicidade 2. Há um teorema famoso chamado Teorema das Raízes Múltiplas. Ele diz que se um polinômio p(x) tem uma raiz com multiplicidade n, então essa também é raiz da (n-1) derivada de p(x). Tente derivar f(x) e veja que -1 e 2 são raízes.

Na verdade não precisa dividir os dois polinômios. Se f(y) = f(y)' = 0, então y é uma raízes de multiplicidade > 1. Mas f(-1) = f'(-1) = f(2) = f'(2) e f(x) tem somente 4 raízes. Assim, f(x) = (x - 2)²(x + 1)²