Determinar todas raízes

por **Pietro di Bernadone** Seg 28 Jun - 10:57

Bom dia prezados usuários do Pir²!

Determine todas as raízes reais, suas multiplicidades e dê a decomposição do polinômio em produto de potências de fatores mônicos irredutíveis em $R[x]$ :

$f(x)=-{x}^{5}+5{x}^{4}-3{x}^{3}-15{x}^{2}+18x$

Resposta --> Raízes: 0, 2, 3, √3, √-3

Fatoração em R[x]: -x (x-2) (x-3) (x-√3) (x+√3)

Atenciosamente,

Pietro di Bernadone

por **Elcioschin** Seg 28 Jun - 18:27

f(x) = - x^5 + 5x^4 - 3x³ - 15x² + 18x

f(x) = - x*(x^4 - 5x³ + 3x² + 15x - 18) ----> 1ª raiz ----> x = 0

Análise de eventuais raízes racionais do polinômio entre parenteses:

Divisores de - 18 ----> + - 1, 2, 3, 6, 9
Divisores de - 1 -----> + - 1

As prováveis raizes racionais serão, neste caso inteiras: + - 1, 2, 3, 6, 9

Testando descobre-se facilmente que x = 2 e x = 3 são raízes

(x - 2)*(x - 3) = x² - 5x + 6

Basta agora dividir o polinômio (x^4 - 5x³ + 3x² + 15x - 18) por (x² - 5x + 6)

Divida usando método da chave e você obterá (x² - 3)

Logo ----> x² - 3 = 0 ----> x² = 3 ----> x = +V3 e x = -V3)

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