Determinar raízes complexas

Determine todas as raízes complexas de e dê a sua decomposição em produto de potências de fatores mônicos irredutíveis em , onde .

Resposta: Raízes de h(x): 1/2, -3, (i - raiz dupla) e (-i - raiz dupla)

Decomposição:

Certo de sua atenção,

Pietro di Bernadone

Olá,

h(x) = 2*x^6 + 5*x^5 + x^4 + 10*x³ - 4*x² + 5*x - 3

cálculo das raízes:

se h(x) admite raízes racionais p/q então:

p é divisor de é divisor de - 3 -> p E [ - 1, 1, - 3, 3 ]

q é divisor de 2 -> q E [ - 1, 1, - 2, 2 ]

logo:

p/q - 1........ 1........ - 3...........3
---------------------------------------
- 1......1....... - 1......... 3.......... - 3
---------------------------------------
1..... - 1........ 1......... - 3.......... 3
---------------------------------------
- 2...1/2....... - 1/2..... 3/2....... - 3/2
---------------------------------------
2.... - 1/2...... 1/2...... - 3/2....... 3/2
---------------------------------------

assim, p/q E [ - 1/2, 1/2, - 3/2, 3/2, - 3, 3 }

Verificando se 1/2 é raiz:


1/2......|..... 2............5...........1.........10......... - 4............ 5.......... - 3
-------|-----------------------------------------------------------------
..........|..... 2.......... 6............4..........12........... 2............ 6............ 0

logo: h(x) = ( x - 1/2 )*( 2*x^5 + 6*x^4 + 4*x³ + 12*x² + 2*x + 6 )

procedendo fe maneira análoga à anterior para 2*x^5 + 6*x^4 + 4*x³ + 12*x² + 2*x + 6 = 0

encontramos a raiz: x = - 3

e h(x) = ( x - 1/2 )*( x + 3 )*( 2*x^4 + 4*x² + 2 )

fazendo:

2*x^4 + 4*x² + 2 = 0

x^4 + 2*x² + 1 = 0

x² = y

y² + 2*y + 1 = 0 -> raíz x = - 1

então:

x² = - 1 => x = i

se admite a raiz ( i ) então admite a raiz (- i )



e h(x) = ( x - 1/2 )*( x + 3 )*( x - i )*( x + i )*(2*x³ + 2i*x² + 2*x + 2i )

2*x³ + 2i*x² + 2*x + 2i = 0

tomando - i como raiz:

( x + i )*(2*x² + 2 )

2*x² + 2 = 0

x² = - 1 -> x = i ou x = - i

daí, as raízes de h(x) são:

1/2, - 3, - i e i sendo i e - i com multiplicidade 2.