Cinemática

gabarito:

Giovana Martins escreveu:

Seja f(θ) = sin(θ) - cos(θ) = 1 · sin(θ) - 1 · cos(θ).

Pelo truque do triângulo retângulo, faça o seguinte: monte um triângulo retângulo. Os coeficientes indicados por 1 são os catetos de um triângulo retângulo. Sendo os catetos iguais a 1, a hipotenusa do triângulo retângulo criado equivale a √2.

Seja Φ um ângulo que está em qualquer um dos lugares que não seja o ângulo reto do triângulo retângulo criado.

Agora, façamos a seguinte manipulação algébrica em torno de f(θ):

\[\mathrm{f(\theta)=\sqrt{2} \left [ \frac{1}{\sqrt{2}}sin(\theta)-\frac{1}{\sqrt{2}}cos(\theta) \right ]}\]

Do triângulo retângulo obtemos as seguintes relações trigonométricas:

\[\mathrm{sin(\phi )=cos(\phi)=\frac{1}{\sqrt{2}}\ \therefore\ \phi =45^\circ{}}\]

Assim, podemos escrever f(θ) como f(θ,Φ ):

\[\mathrm{f(\theta , \phi)=\sqrt{2}[cos(\phi) sin(\theta)-sin(\phi )cos(\theta)]=\sqrt{2}sin(\theta -\phi  )}\]

É sabido que:

\[\mathrm{-1\leq sin(\theta -\phi  )\leq 1\to -\sqrt{2}\leq \sqrt{2}sin(\theta -\phi  )\leq \sqrt{2}\ \therefore\ -\sqrt{2}\leq f(\theta,\phi)\leq \sqrt{2}}\]

Ou seja:

\[\mathrm{-\sqrt{2}\leq sin(\theta )-cos(\theta)\leq \sqrt{2}}\]

Embora matematicamente - √2 tenha significado, fisicamente ele não tem, pois ele acarretaria um número complexo associado à velocidade. O - √2 surgiu apenas por conta do artifício matemático utilizado.

Veja a demonstração do Élcio: truque do triângulo retângulo.