Probabilidade cores de uma bandeira

(Matemática-Iezzi) Dispõe-se de tintas nas cores laranja, azul, verde e amarela para colorir as 4 faixas de uma bandeira, sendo possível a repetição de cores. Qual a probabilidade de que sejam usadas exatamente duas cores de tinta? 

Gabarito:

Quantas faixas são? Duas faixas adjacentes podem ter a mesma cor?

1. Cálculo do espaço amostral.
Em face da natureza do enunciado, temos que a ordem das quatro cores importa e pode haver repetição. Assim, aplicando o princípio da multiplicação, temos que o espaço amostral (número de possíveis arranjos) é dado por:
4⁴= 256.

2. Cálculo do número de eventos possíveis.
Como há quatro cores das quais duas (e somente duas) se repetem, sendo que a ordem importa, temos uma permuntação de 4 elementos com duas repetições de dois elementos. Traduzindo, é o mesmo que calcular o número de anagramas da palavra BABA, Logo, o cálculo é:
4!/(2!.2!) = 6.

3. Cálculo da probabilidade.
Assim, a probabilidade é dada pela razão entre o número de eventos possíveis e o espaçao amostral:
6/256 = 3/128.

Elcioschin escreveu:Quantas faixas são? Duas faixas adjacentes podem ter a mesma cor?

Boa noite, Elcioschin! 

Erro meu de digitação: são 4 faixas. 

E faixas adjacentes podem ter a mesma cor

vagnerunb escreveu:1. Cálculo do espaço amostral.
Em face da natureza do enunciado, temos que a ordem das quatro cores importa e pode haver repetição. Assim, aplicando o princípio da multiplicação, temos que o espaço amostral (número de possíveis arranjos) é dado por:
4⁴= 256.

2. Cálculo do número de eventos possíveis.
Como há quatro cores das quais duas (e somente duas) se repetem, sendo que a ordem importa, temos uma permuntação de 4 elementos com duas repetições de dois elementos. Traduzindo, é o mesmo que calcular o número de anagramas da palavra BABA, Logo, o cálculo é:
4!/(2!.2!) = 6.

3. Cálculo da probabilidade.
Assim, a probabilidade é dada pela razão entre o número de eventos possíveis e o espaçao amostral:
6/256 = 3/128.

Infelizmente o resultado não corresponde ao gabarito
Minha dificuldade está na etapa 2 da resolução: encontrar o número de eventos possíveis.

claralirasll escreveu:Infelizmente o resultado não corresponde ao gabarito
Minha dificuldade está na etapa 2 da resolução: encontrar o número de eventos possíveis.

Recomendo que faça a árvore de probabilidades nessa questão:

1º faixa: 4 cores
2º faixa: mesma cor (1) ou uma cor diferente (3)
3º faixa: mesma cor (3 ou 1) ou cor diferente (2)
4º faixa: mesma cor (2 ou 3) ou cor diferente (2)

4*4*4*4 = Total de possibilidades

4*1*3*2 = 24
4*1*1*3 = 12
4*3*2*2 = 48

24 + 12 + 48 = 84 --> 84/256 = 21/64.

Existem 4.4.4.4 = 2⁸ maneiras de pintar a bandeira.

Usando duas cores distintas, por exemplo A e B, podemos pintar a bandeira utilizando essas cores das seguintes formas:
3 vezes A e 1 vez B.
2 vezes A e 2 vezes B.
1 vez A e 3 vezes B.

Então, escolhidas as cores A e B, podemos pintar a bandeira com essas duas cores num total de:
P4^3,1 + P4^2,2 + P4^1,3 = 14 formas.

Como existem C4,2 = 6 combinações de cores possíveis para utilizar, concluímos que há 6.14 = 84 maneiras possíveis de pintar a bandeira usando exatamente duas cores distintas.

Ora, o espaço amostral tem 2⁸ elementos e estamos interessados em saber a probabilidade de um evento que possui 84 elementos. Assim, concluímos que a probabilidade procurada é:
p = 84/2⁸ = 42/2⁷ = 21/64

Rory Gilmore escreveu:Existem 4.4.4.4 = 2⁸ maneiras de pintar a bandeira.

Usando duas cores distintas, por exemplo A e B, podemos pintar a bandeira utilizando essas cores das seguintes formas:
3 vezes A e 1 vez B.
2 vezes A e 2 vezes B.
1 vez A e 3 vezes B.

Então, escolhidas as cores A e B, podemos pintar a bandeira com essas duas cores num total de:
P4^3,1 + P4^2,2 + P4^1,3 = 14 formas.

Como existem C4,2 = 6 combinações de cores possíveis para utilizar, concluímos que há 6.14 = 84 maneiras possíveis de pintar a bandeira usando exatamente duas cores distintas.

Ora, o espaço amostral tem 2⁸ elementos e estamos interessados em saber a probabilidade de um evento que possui 84 elementos. Assim, concluímos que a probabilidade procurada é:
p = 84/2⁸ = 42/2⁷ = 21/64

Boa, mas o que pensei está certo também.

Ótimas soluções, amigos! Obrigada!