Comutatividade de produtos matriciais

Considere uma matriz X quadrada inversível e I a matriz indentidade de mesma ordem que X. Faz-se um produto envolvendo um número n de matrizes de cada uma das listadas a seguir: [latex](I + X + X^{-1})[/latex], [latex](I - X + X^{-1})[/latex], [latex](I + X - X^{-1})[/latex] e [latex](I - X - X^{-1})[/latex]. Calcule o valor do produto destas 4n matrizes.

O que eu consegui descobrir:

Produtos matriciais não tem tanta liberdade quando o assunto é comutatividade então eu creio que seja importante considerar que os termos desse produto podem estar em qualquer ordem já que o enunciado não especifica. Eu consegui demostrar que as matrizes [latex](I + X + X^{-1})[/latex], [latex](I - X + X^{-1})[/latex], [latex](I + X - X^{-1})[/latex] e [latex](I - X - X^{-1})[/latex] comutam em produtos matriciais onde se tomam duas delas, não necessariamente distintas.

Com a comutavividade dá para trocar dada matriz por uma imediatamente na esquerda ou imediatamente na direita.
M = ...ABC... , A comuta com B --> M = ...BAC...
M = ...ABC... , B comuta com C --> M = ...BCA...

Apesar disso, eu não consegui desenvolver um raciocínio para reorganizar genericamente um dado produto das 4n matrizes em [latex]\text{[}(I + X + X^{-1})(I + X - X^{-1})(I - X + X^{-1})(I - X - X^{-1})\text{]}^n[/latex] que é o resultado que consta no gabarito.

basta tu provar que não importam quem sejam a, b, m, n,
(I+aX+bX^{-1}) e (I+mX+Nx^{-1}) sempre comutam, 
então todas essas matrizes vão comutar na multipicação, então tu pode rearranjar o produto da forma que tu quiser