Funções

Considere as funções f que satisfazem a igualdade f(x+4)+f(x-4)=f(x), para todo número x real. Cada uma destas funções é periódica e existe um menor período positivo comum p para todas elas. Calcular p


Obs.: Gabarito 24

Aqui o truque é manipular umas transformações algébricas aditivas( translações do gráfico):

f(y+4) + f(y-4) = f(y) , y = x + 4 ⇒ f(x++ f(x) = f(x+4) ,

f(y+4) + f(y-4) = f(y), y = x ⇒ f(x + 4) + f(x-4) = f(x)


f(x++ f(x) = f(x+4) , f(x + 4) + f(x-4) = f(x) ⇒ f(x-4) + (f(x++ f(x)) = f(x) ⇒ f(x-4) + f(x+ = 0

f(y-4) + f(y+ = 0, y = x+4 ⇒ f(x) + f(x+ 12) = 0


f(y) = f(y+ 12), y = x+12 ⇒ f(x+ 12) + f(x + 24) = 0

f(x+ 12) + f(x+ 24) = 0, f(x) = f(x+ 12) = 0 ⇒ f(x+ 12) + f(x + 24) = f(x) + f(x+ 12) ⇒ f(x + 24) = f(x)

Para todo x tem-se f(x + 24) = f(x), ou seja, n vezes o período(P) é igual a 24 (n*P = 24) onde n é um número natural inteiro não nulo. Em tese, todos os divisores de 24 poderiam ser o período mas na prática só P = 24 satisfaz f(x) = f(x + 1*P), esse fato eu deixo para você tentar deduzir da seguinte relação obtida anteriormente f(x) + f(x+ 12) = 0 .

Agora entendi. Vlw