(Simulado-Ime/Ita) Equação

por LARA01 Dom 26 Set 2021, 17:28

Dada a equação cúbica x³-15x²+kx-125=0 de raízes a, b e c, contido nos reais positivos. Calcule a+b²+c³.
a)125
b)130
c)140
d)150
e)155
resp:

por **Medeiros** Dom 26 Set 2021, 19:10

Vale chutar?

a = b = c = 5

resp.: (e)

por **Elcioschin** Dom 26 Set 2021, 19:14

a + b + c = 15

a.b + a.c + b.c = k

a.b.c = 125

Possíveis raízes inteiras positivas de 125 = 1, 5, 25, 125

Testando achamos a = b = c = 5

a + b² + c³ = 5 + 5² + 5³ = 5 + 25 + 125 = 155

por **Ashitaka** Dom 26 Set 2021, 20:01

Elcioschin escreveu:a + b + c = 15

a.b + a.c + b.c = k

a.b.c = 125

Possíveis raízes inteiras positivas de 125 = 1, 5, 25, 125

Testando achamos a = b = c = 5

a + b² + c³ = 5 + 5² + 5³ = 5 + 25 + 125 = 155

Será que o enunciado era pra ser inteiras em vez de reais?

por **SilverBladeII** Seg 27 Set 2021, 21:31

Ashitaka escreveu:
Elcioschin escreveu:a + b + c = 15

a.b + a.c + b.c = k

a.b.c = 125

Possíveis raízes inteiras positivas de 125 = 1, 5, 25, 125

Testando achamos a = b = c = 5

a + b² + c³ = 5 + 5² + 5³ = 5 + 25 + 125 = 155

Será que o enunciado era pra ser inteiras em vez de reais?

Acho que o enunciado está certo.

As raízes são reais positivas e sabemos
a+b+c=15
abc=125

e k=ab+ac+bc
por MA MG,
ab+ac+bc ≥ 3 ∛(a²b²c²)=3*25=75

pela desigualdade do rearranjo,
ab+ac+bc ≤ a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2ac-2bc=225-2(ab+bc+ac)
de forma que
3(ab+bc+ac)≤225 -> ab+ac+bc ≤ 75

restando que k=ab+bc+ac=75.
assim, a=b=c=5 e basta substituir.

Provavelmente dá pra fazer usando calculo tbm.