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(Simulado-Ime/Ita) Equação

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Mensagem por LARA01 Dom 26 Set 2021, 17:28

Dada a equação cúbica x³-15x²+kx-125=0 de raízes a, b e c, contido nos reais positivos. Calcule a+b²+c³.
a)125
b)130
c)140
d)150
e)155
resp:

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Mensagem por Medeiros Dom 26 Set 2021, 19:10

Vale chutar?

a = b = c = 5

resp.: (e)
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Mensagem por Elcioschin Dom 26 Set 2021, 19:14

a  + b + c = 15

a.b + a.c + b.c = k

a.b.c = 125

Possíveis raízes inteiras positivas de 125 = 1, 5, 25, 125

Testando achamos a = b = c = 5

a + b² + c³ = 5 + 5² + 5³ = 5 + 25 + 125 = 155
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Mensagem por Ashitaka Dom 26 Set 2021, 20:01

@Elcioschin escreveu:a  + b + c = 15

a.b + a.c + b.c = k

a.b.c = 125

Possíveis raízes inteiras positivas de 125 = 1, 5, 25, 125

Testando achamos a = b = c = 5

a + b² + c³ = 5 + 5² + 5³ = 5 + 25 + 125 = 155

Será que o enunciado era pra ser inteiras em vez de reais?

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Mensagem por SilverBladeII Seg 27 Set 2021, 21:31

@Ashitaka escreveu:
@Elcioschin escreveu:a  + b + c = 15

a.b + a.c + b.c = k

a.b.c = 125

Possíveis raízes inteiras positivas de 125 = 1, 5, 25, 125

Testando achamos a = b = c = 5

a + b² + c³ = 5 + 5² + 5³ = 5 + 25 + 125 = 155

Será que o enunciado era pra ser inteiras em vez de reais?
Acho que o enunciado está certo.

As raízes são reais positivas e sabemos
a+b+c=15
abc=125


e k=ab+ac+bc
por MA MG,
ab+ac+bc ≥ 3 ∛(a²b²c²)=3*25=75


pela desigualdade do rearranjo,
ab+ac+bc ≤ a²+b²+c²=(a+b+c)²-2ab-2ac-2bc=225-2(ab+bc+ac)
de forma que
3(ab+bc+ac)≤225 -> ab+ac+bc ≤ 75


restando que k=ab+bc+ac=75.
assim, a=b=c=5 e basta substituir.


Provavelmente dá pra fazer usando calculo tbm.
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