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(Simulado-Ime/Ita) Equação

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Mensagem por LARA01 Seg 27 Set 2021, 18:17

Se k é solução da equação x^9+x^8+x^7+.....+x^2+x=1, reduza a expressão [k^10-1]/[k-1] +[k+1]/[k^10-1].
a)1/2
b)6/5
c)-5/2
d)10/3
e)5/2
resp:c

LARA01
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Mensagem por Elcioschin Seg 27 Set 2021, 18:33

Uma dica para começar:

x^9 + x^8 + x^7 +.....+ x^2 + x - 1 = 0

Teorema das raízes racionais: Caso existem elas são dadas pala relação entre os divisores de (-1) e os divisores do termo de maior grau (1)

A relação vale ± 1 --> Testando, vê-se que x = -1 é raiz da equação
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Mensagem por SilverBladeII Seg 27 Set 2021, 20:06

vou supor que voce quis dizer (x^{10}-1)/(x-1)+(x-1)/(x^{10}-1). da outra forma o resultado depende do k escolhido.

k é raiz:
[latex]k^9+k^8+k^7+\dots+k^2+k=1[/latex]
então
[latex](k-1)(k^9+k^8+k^7+\dots+k^2+k+1)=2(k-1)
\implies k^{10}-1=2(k-1)
\implies \frac{k^{10}-1}{k-1}=2[/latex]
então queremos 2+1/2=5/2
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