(Simulado-Ime/Ita) Equação

por LARA01 Sáb 25 Set 2021, 08:16

Calcule o valor negativo de a para que a soma das quartas raízes da equação x³-2ax²+(a²+1)x-a=0 tenha valor mínimo.
a)-2
b)-1
c)-3
d)-4
e)-5
resp:b

por Marcim Sáb 25 Set 2021, 14:42

Faremos por Girard, mas é também possível por somas de Newton (já que o ITA nunca cobrou precisamente somas de Newton)

Soma das quartas raízes, vou assumir que se trata das raízes elevadas a 4

chamemos as raizes de p,q,r

[latex]p+q+r = 2a[/latex]

[latex]pq + pr + qr = a^2+1[/latex]

[latex]pqr = a[/latex]

Vamos elevar a primeira ao quadrado

[latex](p+q+r)^2 = (2a)^2[/latex]

[latex]p^2 + q^2 + r^2 + 2(pq + pr + qr) = 4a^2[/latex]

mas 2(pq + pr + qr) = 2a^2+2

[latex]p^2 + q^2 + r^2 = 2a^2 -2[/latex]

Agora elevamos isso ao quadrado novamente:

[latex](p^2 + q^2 + r^2)^2 = (2a^2 -2)^2[/latex]

[latex]p^4 + q^4 + r^4 + 2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = 4a^4 - 8a^2 + 4[/latex]

A resposta já apareceu, agora precisamos nos livrar desse termo do meio

Vamos elevar (pq+pr+qr)^2

[latex]p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 + 2(p^2qr + pq^2r + pqr^2) = a^4 + 2a^2 + 1[/latex]

agora uma fatoração muito importante. Vamos analisar esse termo entre parenteses:

[latex]p^2qr + pq^2r + pqr^2 = (pqr)(p+q+r)[/latex]

Nós já temos esses dados, então o termo entre parênteses é 2a^2

[latex]p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 + 2(2a^2) = a^4 + 2a^2 + 1[/latex]

[latex]p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2 + = a^4 - 2a^2 + 1[/latex]

agora é só substituir

[latex]p^4 + q^4 + r^4 + 2(p^2q^2 + p^2r^2 + q^2r^2) = 4a^4 - 8a^2 + 4[/latex]

[latex]p^4 + q^4 + r^4 + 2a^4 - 4a^2 + 2 = 4a^4 - 8a^2 + 4[/latex]

[latex]p^4 + q^4 + r^4 = 2a^4 - 4a^2 + 2[/latex]

Aqui você ja pode jogar valores, derivar e igualar a zero (recomendo, em geral, mas como é ITA deve haver como fazer sem cálculo), ou simplesmente transformar a^2 em y

Seja f(y) = 2y^2 - 4y + 2

O valor mínimo é quando y = -(-4)/4 -> y=1

Se a^2 = 1

a=+-1

Como a questão quer o valor negativo, a = -1

por **Eduardo Rabelo** Sáb 25 Set 2021, 15:25

Pode resolver usando o teorema de Girard (outro). Pelo que lembro ele diz algo do tipo:

Seja p(x) um polinômio e p'(x) a derivada de p(x) em relação a x.

Se dividirmos p'(x) por p(x), obtém-se um quociente q(x), onde:

$(Simulado-Ime/Ita) Equação Gif.latex?%5Csmall%20q%28x%29%3D%5Cfrac%7BS_%7B0%7D%7D%7Bx%7D+%5Cfrac%7BS_%7B1%7D%7D%7Bx%5E%7B2%7D%7D+%5Cfrac%7BS_%7B2%7D%7D%7Bx%5E%7B3%7D%7D+..$

Obs.: Esses S's representam as somas de newton.

É meio complicado de fazer divisão por chave por aqui. Se o teorema não ficou claro, avise que faço a resolução utilizando-o.