(Simulado IME) Equação Trigonométrica

Para que os senos sejam iguais, deve existir um inteiro k (que depende de \(\theta\)) tal que:

\(m \theta  + n = 29 \theta + 2k \pi\) ou
\(m \theta  + n =  \pi -29 \theta + 2k \pi\) 

Primeiro vamos verificar que apenas uma delas é válida. Quero dizer, devemos ter \(m \theta  + n = 29 \theta + 2k \pi\) para todos \(\theta\)'s  ou \(m \theta  + n =  \pi -29 \theta + 2k \pi\) para todos \(\theta\)'s . Isto é, não é possível ter uma válida para alguns valores e outra para outros.

Uma das duas igualdades é satisfeita pra infinitos valores de \(\theta\). Digamos que é a primeira. Reescrevendo-a teremos
\(\dfrac{m-29}\pi \theta + \dfrac n\pi = 2k\)
Escolhendo dois valores de \(\theta\) que satisfazem a equação acima e subtraindo uma da outra concluiremos que  \(\dfrac{m-29}\pi \)  é um número racional. O mesmo vale para \(\dfrac n \pi\).

Suponha que a segunda equação é satisfeita para algum valor \(\theta =\beta\). Subtraindo a primeira equação dela obteremos:
\(m (\beta - \theta) = -29(\beta + \theta) + (2k+1)\pi \)
Sendo \(r = \dfrac{m-29}\pi\) temos

\(\dfrac{58 \beta}{\pi} + r(\beta - \theta) = (2k+1)\)

Isso implica que \(\beta = 0\) (pois temos essa igualdade para infinitos valores de \(\theta\). Mas não existe r satisfazendo a equação acima para \(\beta = 0\) e infinitos valores de \(\theta\).

O outro caso é analogo. Isso prova o afirmado.


Digamos então que a primeira equação é válida então. Usando \(\theta =0\) temos que \(n/\pi\) é inteiro par. Daí  \(r\theta \) deve ser par para todo \(\theta\). Portanto, r é par. Segue que \(m = 29 + 2x\pi\) para algum x inteiro. De fato, qualquer x inteiro produz um possível valor de m. O menor valor positivo de m que pode ser escrito nessa forma é \(29 - 8\pi\).

Supondo que a segunda equação é valida, obteremos m da forma \(m = 2y \pi - 29\) onde y é inteiro. O menor valor positivo de me que pode ser escrito nessa forma é \(10\pi - 29\). Essa é a resposta do problema.