(SIMULADO - IME) Soma trigonométrica
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(SIMULADO - IME) Soma trigonométrica
por Giovana Martins Qua 20 Dez 2017, 00:45
Calcule a soma abaixo.
- Spoiler:
- S=21
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: (SIMULADO - IME) Soma trigonométrica
por fantecele Qua 20 Dez 2017, 11:13
Perceba que sen(7α) = 0 para α = k∏/7, k = 1, 2, ..., 6
Perceba ainda que tg(∏/7) = - tg(6∏/7); tg(2∏/7) = - tg(5∏/7); tg(3∏/7) = - tg(4∏/7) (II)
Dessa forma:
+isen(\alpha))^7=cos^7(\alpha)+\binom{7}{1}(cos^6(\alpha))(isen(\alpha))+...+(isen(\alpha))^7\\\\cos(7\alpha)+isen(7\alpha)=cos^7(\alpha)+\binom{7}{1}(cos^6(\alpha))(isen(\alpha))+...+(isen(\alpha))^7\\\\sen(7\alpha)=7cos^6(\alpha)sen(\alpha)-21cos^4(\alpha)sen^3(\alpha)+21cos^2(\alpha)sen^5(\alpha)-sen^7(\alpha)\,\,\,(I) "\\(cos(\alpha)+isen(\alpha))^7=cos^7(\alpha)+\binom{7}{1}(cos^6(\alpha))(isen(\alpha))+...+(isen(\alpha))^7\\\\cos(7\alpha)+isen(7\alpha)=cos^7(\alpha)+\binom{7}{1}(cos^6(\alpha))(isen(\alpha))+...+(isen(\alpha))^7\\\\sen(7\alpha)=7cos^6(\alpha)sen(\alpha)-21cos^4(\alpha)sen^3(\alpha)+21cos^2(\alpha)sen^5(\alpha)-sen^7(\alpha)\,\,\,(I)")
Temos que sen(7α) = 0
De (I):
sen(\alpha)-21cos^4(\alpha)sen^3(\alpha)+21cos^2(\alpha)sen^5(\alpha)-sen^7(\alpha)=0 "\\7cos^6(\alpha)sen(\alpha)-21cos^4(\alpha)sen^3(\alpha)+21cos^2(\alpha)sen^5(\alpha)-sen^7(\alpha)=0")
Dividindo tudo por cos^7(α):
-21tg^3(\alpha)+21tg^5(\alpha)-tg^7(\alpha)=0 "\\7tg(\alpha)-21tg^3(\alpha)+21tg^5(\alpha)-tg^7(\alpha)=0")
Sabemos que:
tg²(∏/7)+tg²(2∏/7)+tg²(3∏/7)+tg²(4∏/7)+tg²(5∏/7)+tg²(6∏/7) = (soma deles)² - 2(combinação 2 a 2)
Da equação encontrada ali em cima temos que a soma deles é igual a zero e a de 2 a 2 é igual a -21, dessa forma:
tg²(∏/7)+tg²(2∏/7)+tg²(3∏/7)+tg²(4∏/7)+tg²(5∏/7)+tg²(6∏/7) = 0 - 2.(-21)
tg²(∏/7)+tg²(2∏/7)+tg²(3∏/7)+tg²(4∏/7)+tg²(5∏/7)+tg²(6∏/7) = 2.21
Lembrando de (II) lá no inicio da resolução tiramos que:
tg²(∏/7)+tg²(2∏/7)+tg²(3∏/7) = 21
Perceba ainda que tg(∏/7) = - tg(6∏/7); tg(2∏/7) = - tg(5∏/7); tg(3∏/7) = - tg(4∏/7) (II)
Dessa forma:
Temos que sen(7α) = 0
De (I):
Dividindo tudo por cos^7(α):
Sabemos que:
tg²(∏/7)+tg²(2∏/7)+tg²(3∏/7)+tg²(4∏/7)+tg²(5∏/7)+tg²(6∏/7) = (soma deles)² - 2(combinação 2 a 2)
Da equação encontrada ali em cima temos que a soma deles é igual a zero e a de 2 a 2 é igual a -21, dessa forma:
tg²(∏/7)+tg²(2∏/7)+tg²(3∏/7)+tg²(4∏/7)+tg²(5∏/7)+tg²(6∏/7) = 0 - 2.(-21)
tg²(∏/7)+tg²(2∏/7)+tg²(3∏/7)+tg²(4∏/7)+tg²(5∏/7)+tg²(6∏/7) = 2.21
Lembrando de (II) lá no inicio da resolução tiramos que:
tg²(∏/7)+tg²(2∏/7)+tg²(3∏/7) = 21
fantecele- Fera
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Re: (SIMULADO - IME) Soma trigonométrica
por Giovana Martins Qua 20 Dez 2017, 12:17
Fantecele, de onde vem a relação que você apresentou na quarta linha da sua resolução?
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: (SIMULADO - IME) Soma trigonométrica
por fantecele Qua 20 Dez 2017, 12:27
É como se fosse a expansão de (a + b)^7:
(a + b)^7 = a^7 + 7(a^6)(b) + 21(a^5)(b^2) + ... + b^7
Essa maneira é uma forma "mais rápida" que eu conheço de encontrar valores de cos(xα) ou sen(xα), sendo x um valor muito grande. Você distribui normalmente e usa Moivre.
Uma outra aplicação para essa ideia seria nessa questão:
https://pir2.forumeiros.com/t128732-prove-que
Espero que eu tenha olhado para a linha certa hehe, qualquer dúvida a mais é só perguntar.
(a + b)^7 = a^7 + 7(a^6)(b) + 21(a^5)(b^2) + ... + b^7
Essa maneira é uma forma "mais rápida" que eu conheço de encontrar valores de cos(xα) ou sen(xα), sendo x um valor muito grande. Você distribui normalmente e usa Moivre.
Uma outra aplicação para essa ideia seria nessa questão:
https://pir2.forumeiros.com/t128732-prove-que
Espero que eu tenha olhado para a linha certa hehe, qualquer dúvida a mais é só perguntar.
fantecele- Fera
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Re: (SIMULADO - IME) Soma trigonométrica
por Giovana Martins Qua 20 Dez 2017, 12:36
"Espero que eu tenha olhado para a linha certa hehe, qualquer dúvida a mais é só perguntar."
Era isso mesmo. Eu nunca tinha visto isso. Achei bem legal. Muito obrigada.
Era isso mesmo. Eu nunca tinha visto isso. Achei bem legal. Muito obrigada.
Giovana Martins- Grande Mestre
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