(Canadá) Soma trigonométrica

por mahriana Sáb 29 Dez 2012, 12:12

Calcule o valor da soma : $S=\frac{\cos\frac{\pi}{4}}{2}+\frac{\cos\frac{2\pi}{4}}{2^2}+...+\frac{\cos\frac{n\pi}{4}}{2^n}$

por **JoaoGabriel** Sáb 29 Dez 2012, 22:32

Tem gabarito?

por dlemos Dom 30 Dez 2012, 10:08

Vi a questão agora pelo celular, então vou postar apenas a ideia e depois se quiserem posto a resolução completa.
Primeiro note que a cada 9 frações o valor dos cos's começam a se repetir e os denominadores estão sempre 2^8 vezes menor... Logo existem 8 somas de pg's infinitas de razão 1/2^8.apos calcular essas somas, e só somar os termos e se não me engano no final vai dar 0, pois as razoes são as mesmas e para cada valor de seno positivo, existe um correspondente negativo.

por mahriana Dom 30 Dez 2012, 10:35

Infelizmente não tenho o gabarito JoaoGabriel

por **JoaoGabriel** Dom 30 Dez 2012, 13:30

Dlemos, eu também cheguei a zero, no entanto em outro site há outra resposta, veja:

http://www.tutorbrasil.com.br/forum/matematica-olimpiadas/canada-soma-trigonometrica-t26744.html?mobile=on

por **Robson Jr.** Dom 30 Dez 2012, 14:05

FALTOU DEIXAR CLARO QUE A SOMA É INFINITA!

Observem as primeiras oito parcelas da soma: (reduz tudo ao denominador 256 que a conta sai de boa)

$\small \\ \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2}+\frac{0}{2^2}+\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2^3}+\frac{-1}{2^4}+\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2^5}+\frac{0}{2^6}+\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2^7}+\frac{1}{2^8}=\frac{15(3\sqrt{2}-1)}{256}=S$

E as oito seguintes:

$\small \\ \frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2^9}+\frac{0}{2^{10}}+\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2^{11}}+\frac{-1}{2^{12}}+\frac{-\frac{1}{\sqrt{2}}}{2^{13}}+\frac{0}{2^{14}}+\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{2^{15}}+\frac{1}{2^{16}}=\frac{S}{2^8}$

É fácil ver que podemos reescrever o enunciado como:

$\small S+\frac{S}{2^8}+\frac{S}{2^{16}}+...$

Para "n" infinito, há infinitos octetos antecessores e, logo, a PG converge. Seu resultado é:

$\small \frac{S}{1-\frac{1}{2^8}}=\frac{S}{\frac{255}{256}}=\frac{\frac{15(3\sqrt{2}-1)}{256}}{\frac{255}{256}}={\color{Red} \frac{3\sqrt{2}-1}{17}}$

por **JoaoGabriel** Dom 30 Dez 2012, 14:31

Realmente o enunciado não indica que a soma é infinita...

Boa Robson

por dlemos Dom 30 Dez 2012, 15:39

Eu n tinha resolvido ainda, do vi no celular, mas agora me toquei que n ia zerar pq os termos iniciais de cada soma infinita são diferentes no denominador.