(SIMULADO) Expressão trigonométrica

por **Giovana Martins** Dom 23 Abr 2017, 15:28

Calcule K=tg (25°).cotg (55°).tg (95°).cotg (75°).

Gabarito: -1.

por **Elcioschin** Dom 23 Abr 2017, 16:03

Um possível caminho

tg(25º + 95º) = (tg25º + tg95º)/(1 - tg25º.tg95º)

tg120º = (tg25º + tg95º)/(1 - tg25º.tg95º)

- √3 = (tg25º + tg95º)/(1 - tg25º.tg95º)

Do mesmo modo: 55º + 75º = 120º

por **Giovana Martins** Dom 30 Abr 2017, 20:57

Élcio, perdoe-me por não ter respondido antes, acabei me esquecendo desta questão Razz

. Eu tentei resolvê-la de vários jeitos (inclusive da forma como o senhor sugeriu) e não saiu. Poderia me ajudar?

por **Elcioschin** Dom 30 Abr 2017, 21:52

Govana

Um outro modo, também trabalhoso é usar prostaférese:

tg95.tg25 = (sen95/cos95).(sen25/cos25)

tg95.tg25 = (2.sen95.sen25)/(2.cos95.cos25)

No numerador: senp + senq = 2.sen[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

(p + q)/2 = 95 ---> p + q = 190
(p - q)/2 = 25 ----> p - q = 150

Resolvendo acha-se p = 120 e q = 70 ---> sen120 + sen70

No denominador: cosp + cosq = 2cos[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

Resolvendo de modo similar ---> cos120 + cos70

Finalmente: tg95.tg25 = (sen120 + sen70)/(cos120 + cos70)

O mesmo pode ser feito para cotg55.cotg75 = 1/tg55.tg75

por **petras** Seg 01 maio 2017, 00:30

Compartilho solução do colega "Undefinied":

\\tg(3x)=\frac{tg(x)+tg(2x)}{1-tg(x)tg(2x)}=\frac{tg(x)+\frac{2tg(x)}{1-tg^2(x)}}{1-\frac{2tg^2(x)}{1-tg^2(x)}}=\frac{3tg(x)-tg^3(x)}{1-3tg^2(x)}\\\ \frac{3tg(x)-tg^3(x)}{1-3tg^2(x)}=tg(x)\frac{3-tg^2(x)}{1-3tg^2(x)}=tg(x).\frac{\sqrt{3}-tg(x)}{1+\sqrt{3}tg(x)}.\frac{\sqrt{3}+tg(x)}{1-\sqrt{3}tg(x)}\\\ \\ 3tg(x)=tg(x).\frac{tg(60)-tg(x)}{1+tg(60)tg(x)}.\frac{tg(60)+tg(x)}{1-tg(60)tg(x)}\boxed{\therefore tg(3x)=tg(60-x).tg(x).tg(60+x)}

Repare que 25=60-35, 95=60+35, então podemos aplicar a relação provada acima para x=35.

\\tg(25)\cdot cotg(55)\cdot tg(95)\cdot cotg(75)= tg(25)\cdot tg(35)\cdot tg(95).cotg(75)=\\\ \\\ tg(3.35)\cdot cotg(75)=tg(105)cotg(75)=-tg(75).cotg(75)=-1\\\ \\\ \therefore tg(25°)\cdot cotg(55°)\cdot tg(95°)\cdot cotg(75°) = -1

por **fantecele** Seg 01 maio 2017, 01:16

Uma outra forma:

$tg(25^{\circ}).cotg(55^{\circ}).tg(95^{\circ}).cotg(75^{\circ})\\\text{Deixando um pouco de lado o cotg(75)}\\\frac{sen(25^{\circ}).sen(95^{\circ})}{cos(25^{\circ}).cos(95^{\circ})}.\frac{1}{tg(55^{\circ})}\\sen(25^{\circ})=cos(65^{\circ});sen(95^{\circ})=cos(5^{\circ})\\\frac{cos(70^{\circ})+cos(60^{\circ})}{cos(120^{\circ})+cos(70^{\circ})}.\frac{1}{tg(55^{\circ})}\\\frac{cos(70^{\circ})cos(55^{\circ})+cos(60^{\circ})cos(55^{\circ})}{cos(120^{\circ})sen(55^{\circ})+cos(70^{\circ})sen(55^{\circ})}$

$sen(55^{\circ})=cos(35^{\circ})\\\frac{cos(125^{\circ})+cos(15^{\circ})+cos(115^{\circ})+cos(5^{\circ})}{cos(155^{\circ})+cos(85^{\circ})+cos(105^{\circ})+cos(35^{\circ})}\\\frac{cos(5^{\circ})+cos(15^{\circ})-cos(65^{\circ})-cos(55^{\circ})}{-cos(25^{\circ})+cos(35^{\circ})-cos(75^{\circ})+cos(85^{\circ})}\\\frac{cos(5^{\circ})+cos(15^{\circ})-cos(5^{\circ})}{-cos(25^{\circ})-cos(75^{\circ})+cos(25^{\circ})}\\\frac{cos(15^{\circ})}{-cos(75^{\circ})}=-tg(75^{\circ})\\\text{M\'ultiplicando por cotg(75) iremos encontrar -1.}$