(CN 2014) - Equação do 2º Grau

por scofield Sex Set 24 2021, 22:46

GABARITO:

Considere a equação do 2º grau [latex]2014x^{2}-2015x-4029= 0.[/latex]
Sabendo-se que a raiz não inteira é dada por [latex]\frac{a}{b}[/latex], onde "a" e "b" são primos entre si, a soma dos algarismos de "a+b" é

A) 7
B) 9
C) 11
D) 13
E) 15

por Edu lima Sex Set 24 2021, 23:14

[latex]\Delta = (-2015)^{2}-4*(2014)*(-4029) [/latex]

[latex]\Delta = 36 517 849 [/latex]

[latex]\sqrt{\Delta} = \sqrt{36 517 849} [/latex]

[latex]\sqrt{\Delta} = 6043 [/latex]

Agora vamos encontrar a raiz.

[latex]x'=\frac{-(-2015)+6043}{2*2014} = \frac{8058}{4028} = \frac{4029}{2014} = \frac{a}{b} [/latex]

Note que, MDC(4029,2014)=1, assim eles são primos entre si.

Com isso,

a=4029 ---> a= 4+0+2+9 = 15 --->a= 1+5 = 6

b=2014 ---> b=2+0+1+4 = 7

7+6=13

por scofield Sex Set 24 2021, 23:27

Boa noite, Edu.

Há alguma outra forma de resolver sem fazer contas imensas? (2015^2)

por Edu lima Sex Set 24 2021, 23:32

Felipe, a priori não consegui enxergar uma maneira mais prática nessa parte das contas, mas deve ter uma forma mais limpa, com menos contas...depois eu analiso esse detalhe para vc. Se algum outro colega tiver um "up" e encontrar uma forma mais enxuta nas contas pode ficar a vontade para contribuir.

por scofield Sex Set 24 2021, 23:35

De qualquer forma, grato demais pela resolução, Edu. (CN 2014) - Equação do 2º Grau 1f44d

por castelo_hsi Sáb Set 25 2021, 01:45

Outro modo, um pouquinho mais difícil de enxergar:

2014x² - 2015x - 4029 = 0
2014x² - 2015x - 2014 - 2015 = 0

Portanto, uma raiz será -1:
2014.(-1)² - 2015.(-1) - 2014 - 2015 = 0
2014 + 2015 - 2014 - 2015 = 0
0 = 0.

Sabendo que a soma das duas raízes x' e x'' é 2015/2014, temos:

-1 + x" = 2015/2014 => x'' = 2015/2014 + 2014/2014 => x'' = 4029/2014.

Efetuando rapidamente a divisão, encontramos um número decimal, logo, essa é a raiz não inteira.

a + b = 6043, soma dos algarismos => 13