PAES 2014 - A soma das raízes da equação:

por nivaldoj Qua 30 Jul 2014, 21:13

A soma das raízes da equação:

PAES 2014 - A soma das raízes da equação: O6jqcl

vale:

a) -144
b) -72
c) 10
d) 12
e) 120

por **Elcioschin** Qua 30 Jul 2014, 22:13

Desenvolva o 2º membro

mmc dos denominadores = 3x²

Multiplique tudo pelo mmc

Obtenha uma equação incompleta do 4º grau

Pesquise raízes racionais (divisores inteiros do termo independente de x)

por PedroCunha Qua 30 Jul 2014, 22:42

Olá, nivaldoj.

Façamos \frac{x}{3} = t . Temos:

\\ t \cdot x + \frac{16}{t \cdot x} = 10 \cdot \left( t - \frac{4}{3t} \right) \therefore (tx)^2 + 16 = 10t^2x - \frac{40x}{3} \therefore \\\\ 3t^2x^2 + 48 = 30t^2x - 40x \therefore x^2 \cdot (3t^2) - x \cdot (30t^2-40) + 48 = 0

Resolvendo a equação do segundo grau:

\\ \circ \triangle = (30t^2-40)^2 - 4 \cdot (3t^2) \cdot 48 \therefore \triangle = 100 \cdot (16 - 24t^2 + 9t^4) - 576t^2 \therefore \\\\ \triangle =900t^4 -2976t^2 + 1600 \therefore \triangle = 4 \cdot (225t^4-744t^2+400) \\\\ \circ x = \frac{30t^2-40 \pm 2\sqrt{225t^4-744t^2+400}}{6t^2} \therefore x = \frac{15t^2-20 \pm \sqrt{225t^4-744t^2+400}}{3t^2}

Desfazendo a troca:

\\ \frac{x}{3} = t \therefore x = 3t \therefore 15t^2-20 \pm \sqrt{225t^4-744t^2+400} = 9t^3 \therefore \\\\ \pm \sqrt{225t^4-744t^2+400} = 9t^3 - 15t^2 +20 \therefore \\\\ 225t^4 - 744t^2 + 400 = 81t^6 - 270t^5 + 225t^4 + 360t^3 - 600t^2 + 400 \therefore \\\\ -81t^6 + 270t^5 - 360t^3 - 144t^2 = 0 \therefore 3t^2 \cdot (-27t^4 + 90t^3 - 120t - 48) = 0

Note que 2 é raiz da equação entre parênteses. Abaixando o grau por Briot-Ruffini:

\\ \begin{array} {|c|c|c|c|c|c|} \hline 2 & -27 & 90 & 0 & -120 & -48 \\ \hline & -27 & 36 & 72 & 24 & 0 \\ \hline \end{array}

Logo, -27t^4+90t^3-120t-48 = (t-2) \cdot (-27t^3 + 36t^2 + 72t + 24) . Note que -\frac{2}{3} é raiz da equação que está no segundo par de parênteses - utilize o Teorema das Raízes Racionais - . Abaixando o grau novamente:

\begin{array} {|c|c|c|c|c|} \hline -\frac{2}{3} & -27 & 36 & 72 & -24 \\ \hline & -27 & 54 & 36 & 0 \\ \hline \end{array}

Assim, (t-2) \cdot (-27t^3 + 36t^2 + 72t + 24) = (t-2) \cdot \left( t + \frac{2}{3} \right) \cdot (-27t^2+54t+36)

Resolvendo a equação do segundo grau:

-27t^2 + 54t + 36 = 0 \therefore -3t^2 + 6t + 4 = 0 \therefore t = \frac{-6 \pm \sqrt{84} }{ -6} \Leftrightarrow t = 1 \mp \frac{\sqrt{84}}{6}

Assim, a soma das raízes é:

3 \cdot \left( 2 - \frac{2}{3} + 1 - \frac{\sqrt{84}}{6} + 1 + \frac{\sqrt{84}}{6}\right) = 10

Parece que peguei o caminho das pedras, Razz

Mas tá aí uma solução.

Att.,
Pedro

por L.Lawliet Qua 30 Jul 2014, 23:12

Eu acho que poderia ser feito dessa forma tambem:

${\color{Red} (3x^2)}\left [\frac{x^2}{3}+\frac{48}{x^2} \right ]=\left [\frac{10x}{3}-\frac{40}{x} \right ]{\color{Red} (3x^2)}\Rightarrow x^4-10x^3+120x+14$

Sendo Sn=[(-1)^n.a₁]/an a soma das raizes tomadas n a n

S₁=-1*(-10)=10