polinomios

olá! eu preciso de ajuda com essa questão, por favor

(Olimpíada Americana-Adaptada) Se a, b, c e d é a solução do sistema:

a + b + c + d = 1
8a + 4b + 2c + d = 16
27a + 9b + 3c + d = 81
64a + 16b + 4c + d = 256

então o valor de (ab - cd) é igual a:

A) 720
B) 750
C) 820
D) 850
E) 960

Seu título não tem  nada a ver com a questão: é uma questão de Álgebra - Equações Lineares

Mantenha a linha I --- 1 1 1 1 1
Faça nova linha II = linha II atual - linha I
Faça nova linha III = linha III atual - linha I
Faça nova linha IV = linha IV atual - linha I

Eliminando a linha I e a coluna IV, Temos agora um sistema de 3ª ordem no determinante principal

Usando a Regra de Cramer:

a) Calcule o determinante principal ∆ (pode usar Sarrus)
b) Calcule o determinante da incógnita a: ∆a (pode usar Sarrus)
c) Calcule o determinante da incógnita b: ∆b (pode usar Sarrus)
d) Calcule o determinante da incógnita c: ∆c (pode usar Sarrus)

a = ∆a/∆ ---> b = ∆b/∆ ---> c = ∆c/∆

a = 1 - b - c - d

-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

8(1 - b -c - d) + 4b + 2c + d = 16

8 - 8b - 8c - 8d + 4b + 2c + d = 16

8 - 4b - 6c - 7d = 16

-4b - 6c - 7d = 8

b = (8 + 6c + 7d) / (-4)

-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

27{1 - [(8 + 6c + 7d) / (-4)] - c - d} + 9[(8 + 6c + 7d) / (-4)] + 3c + d = 81

27{1 - [(8 + 10c + 11d) / (-4)] + [(72 + 54c + 63d) / (-4)] + 3c + d = 81

[(27 + 270c + 297d) / (-4)] + [(72 + 54c + 63d) / (-4)] + 3c + d = 81

[(100 + 324c + 360d) / (-4)] + 3c + d = 81

25 + 81c + 90d + 3c + d = 81

84c + 91d = 66

c = (66 - 91d) / 84

-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+-+

64{1 - (8 + 6(66 - 91d) / 84 + 7d) / (-4) - (66 - 91d) / 84 - d} + 16[(8 + 6(66 - 91d) / 84 + 7d) / (-4)] + 4(66 - 91d) / 84 + d = 256

d = 303 / 28

Acabou a coragem

Talvez haja uma forma mais prática de resolver

Quanta coragem vocês hein, eu já tinha me confundindo nessas  contas kkkkkkkk.

Considere o polinômio p(x) = x³a  + bx² + cx + d ,

aí p(1) = 1^4 , p(2) = 2^4 , p(3) = 3^4, p(4) = 4^4. Daí, considere o polinômio g(x) dado por p(x) - x^4, logo suas raízes são 1,2,3 e 4.

Ou seja, g(x) = -1*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) --> 

x³a + bx² + cx + d ≡ -1*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^4  ≡ 10x³-35x²+50x-24

Daí, a = 10, b = -35 , c = 50 e d = -24 então (ab - cd) = 
-10*35 + 50*24 = 850. Alternativa D.

Espero que seja isso, valeuuuuu!

Considero muito útil esse canal:

https://www.youtube.com/watch?v=aThbKl-Ftl0&ab_channel=PROVEQ-Matem%C3%A1tica

https://www.youtube.com/watch?v=ktxYT1yc9E0&ab_channel=PROVEQ-Matem%C3%A1tica

Veja esses vídeos, vai ajudar.

Elcioschin escreveu:Seu título não tem  nada a ver com a questão: é uma questão de Álgebra - Equações Lineares

Usando a Regra de Cramer:

a) Calcule o determinante principal ∆ (pode usar Sarrus)
b) Calcule o determinante da incógnita a: ∆a (pode usar Sarrus)
c) Calcule o determinante da incógnita b: ∆b (pode usar Sarrus)
d) Calcule o determinante da incógnita c: ∆c (pode usar Sarrus)

a = ∆a/∆ ---> b = ∆b/∆ ---> c = ∆c/∆

então mestre, eu coloquei esse título porque a questão está na lista de polinomios do cursinho sabe, daí eu só mantive
eu ainda não estudei determinantes então não sei a regra de cramer, após estuda-los vou tentar resolver dessa forma, obrigada!

AmauriFelipe escreveu:a = 1 - b - c - d

Acabou a coragem

Talvez haja uma forma mais prática de resolver

 o professor resolveu uma questão em aula com o enunciado parecido a que eu fiz mas com um comando bem diferente, e ele disse mesmo que dava para resolver assim, mas que existe a forma mais pratica, que seriam os polinomios auxiliares que o kayo usou, só que eu não estava conseguindo
mas obrigada amauri!!

Kayo Emanuel Salvino escreveu:Quanta coragem vocês hein, eu já tinha me confundindo nessas  contas kkkkkkkk.

Considere o polinômio p(x) = x³a  + bx² + cx + d ,

aí p(1) = 1^4 , p(2) = 2^4 , p(3) = 3^4, p(4) = 4^4. Daí, considere o polinômio g(x) dado por p(x) - x^4, logo suas raízes são 1,2,3 e 4.

Ou seja, g(x) = -1*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) --> 

x³a + bx² + cx + d ≡ -1*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^4  ≡ 10x³-35x²+50x-24

oi kayo, como você chegou em an = (-1)?
antes de fazer a pergunta aqui eu tentei resolver assim mesmo, daí caí em g(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x^4 porém eu não desenvolvi o polinômio, foi o que vc fez, não foi? acho que era justamente o que me daria os coeficientes né kkkk

Kayo Emanuel Salvino escreveu:Considero muito útil esse canal:

https://www.youtube.com/watch?v=aThbKl-Ftl0&ab_channel=PROVEQ-Matem%C3%A1tica

https://www.youtube.com/watch?v=ktxYT1yc9E0&ab_channel=PROVEQ-Matem%C3%A1tica

Veja esses vídeos, vai ajudar.

nossa eu já vi alguns vídeos desse canal sobre outro assunto, vai ajudar sim, mto obrigada!

Por causa do -1*x^4, note que p(x) é do terceiro grau e g(x) é p(x) - x^4, ou seja, g(x) é do quarto grau e tem coeficiente líder = -1. Daí,

ele pode ser fatorado usando [ coeficiente líder * (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) ] , aí fica -1*(x-1)(x-2)(x-3)(x-4).

Tranquilo ? Estamos aí qualquer coisa.