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Polinômios

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Mensagem por med01 Sex 26 Nov 2021, 17:53

Se P(x) é um polinômio tal que [latex]2P(x)+x^{2}P(x-1)=Q(x)[/latex],sendo [latex]Q(x)= x^{3}+2x+2[/latex],então o resto da divisão de[latex] M(x) = x^{3}+x^{2}-2[/latex] por P(x) é
(A) – 2 .
(B) – 1.
(C) 0.
(D) 1.
gabarito letra A
minha dúvida está em como resolver o P(x-1) nesse polinômio.

med01
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Mensagem por Elcioschin Sex 26 Nov 2021, 20:22

2.P(x) + x².P(x - 1) = x³ + 2.x + 2

P(x) ou P(x - 1) deve ser polinômios de 1º grau ---> P(x) = a.x + b ---> P(x - 1) = a.(x - 1) + b = a.x + b - a

2.(a.x + b) + x².(a.x + b - a) =  x³ + 2.x + 2 ---> a.x³ + (b - a).x² + 2.a.x + 2.b =  x³ + 2.x + 2

Igualando termo a termo ---> a = b = 1

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Mensagem por tales amaral Sex 26 Nov 2021, 20:29

[latex]P(x)[/latex] é do primeiro grau e na forma [latex]P(x) = ax+b[/latex]. Para achar [latex]P(x-1) [/latex] é só substituir x por x-1, ficando  [latex]P(x-1) = a\cdot (x-1)+b[/latex].


solucao:




[latex]\begin{align*} x^3+2x+2 &= 2\cdot P(x)+x^2\cdot P(x-1) \\~\\ &=2\cdot(ax+b) +x^2\cdot\left[a\cdot(x-1)+b \right ]\\~\\ &=2\cdot(ax+b) +x^2\cdot\left[ax+b-a \right ]\\~\\ &=2ax+2b+ax^3+(b-a)x^2\\~\\ &= ax^3+(b-a)x^2+2ax+2b \end{algin*} [/latex]



Temos que [latex]a = b=1[/latex] e que [latex]P(x) = x+1[/latex]. O resto de [latex]M(x)[/latex] por [latex]P(x)[/latex], pelo teorema do resto, é [latex]M(-1) = -1+1-2 = -2[/latex].
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Mensagem por med01 Seg 29 Nov 2021, 20:16

muito obrigado!!!

med01
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