UE-CE

por Salvattore Seg 07 Jun 2021, 00:03

Se a reta r, tangente à circunferência x²+y²=1 no ponto [latex] \left ( \frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right ) [/latex], intercepta a parábola y=x²+1 nos pontos (x1,y1) e (x2,y2), então x1.x2 é igual a:

Gabarito: [latex] 1-\sqrt{2} [/latex]

por **Medeiros** Seg 07 Jun 2021, 00:51

por [``Marx Br``]--P4pir9## Qui 30 Nov 2023, 23:14

Medeiros escreveu:

Oi Medeiros,não entendi porque é necessário utilizar o seno e o cosseno nessa questão,poderia explicar?

por **Medeiros** Sex 01 Dez 2023, 00:06

[``Marx Br``]--P4pir9## escreveu:Oi Medeiros,não entendi porque é necessário utilizar o seno e o cosseno nessa questão,poderia explicar?

Não é absolutamente necessário; eu usei. Pode-se, também, usar direto a tangente.
Você faria como?

por [``Marx Br``]--P4pir9## Sex 01 Dez 2023, 11:42

Medeiros escreveu:
[``Marx Br``]--P4pir9## escreveu:Oi Medeiros,não entendi porque é necessário utilizar o seno e o cosseno nessa questão,poderia explicar?
Não é absolutamente necessário; eu usei. Pode-se, também, usar direto a tangente.
Você faria como?

Não tinha entendido a relação do seno e cosseno com as retas no plano cartesiano,mas já entendi,tentei fazer de outras formas,mas não consegui.

por **Elcioschin** Sex 01 Dez 2023, 12:57

Uma figura para facilitar o entendimento:

por **Giovana Martins** Sex 01 Dez 2023, 18:28

Outras duas soluções: não muito rápidas, mas dá para fazer também.

Resolução 1: por geometria analítica.

$UE-CE Png.latex?%5C%5C%5Cmathrm%7BSeja%5C%20a%5C%20reta%5C%20t%3A%20y%20%3D%20ax%20+%20b%5C%20tangente%5C%20%5Cgrave%7Ba%7D%5C%20circunfer%5Chat%7Be%7Dncia%5C%20%5Clambda%20%3Ax%5E2+y%5E2%3D1%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7Bt%5C%20%5Ccap%20%5C%20%5Clambda%20%3D%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5C%20%5Ctherefore%5C%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%3Da%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20+b%5C%20%28i%29%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7BSendo%5C%20t%5C%20tangente%5C%20a%5C%20%5Clambda%3Ax%5E2+%28ax+b%29%5E2%3D1%5Cto%20%281+a%5E2%29x%5E2+2abx+b%5E2-1%3D0%7D%5C%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7BNovamente%2Csendo%5C%20t%5C%20tangente%5C%20a%5C%20%5Clambda%3A%5CDelta%20%3D0%5C%20%5Ctherefore%5C%20%282ab%29%5E2-%284%29%281+a%5E2%29%28b%5E2-1%29%3D0%5C%20%28ii%29%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7BDe%5C%20%28i%29%5C%20e%5C%20%28ii%29%3A%28a%2Cb%20%29%3D%5Cleft%20%28-1%2C%5Csqrt%7B2%7D%20%5Cright%20%29%5C%20%5Ctherefore%5C%20t%3Ay%3D-x+%5Csqrt%7B2%7D%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7BDo%5C%20encontro%5C%20entre%5C%20t%5C%20e%5C%20a%5C%20par%5Cacute%7Ba%7Dbola%5C%20y%3Dx%5E2+1%3A%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cmathrm%7By%3D-x+%5Csqrt%7B2%7D%7D%5C%5C%20%5Cmathrm%7By%3Dx%5E2+1%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

Resolução 2: por derivadas.

$UE-CE Png.latex?%5C%5C%5Cmathrm%7B%5Cmathrm%7BDerivando%5C%20x%5E2+y%5E2%3D1%5C%20implicitamente%3A%7D%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7B%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28x%5E2+y%5E2%29%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%281%29%5Cto%202x+2y%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%5C%20%5Ctherefore%5C%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7Bx%7D%7By%7D%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7BPara%5C%20o%5C%20ponto%5C%20%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%2C%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29%3A%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5Ccdot%20%5Cfrac%7B2%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%5C%20%5Ctherefore%5C%20%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-1%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7Bt%3Ay%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%5Cleft%20%28%20x-%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%20%5Cright%20%29+%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%7B2%7D%5C%20%5Ctherefore%5C%20t%3Ay%3D-x+%5Csqrt%7B2%7D%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cmathrm%7BDo%5C%20encontro%5C%20entre%5C%20t%5C%20e%5C%20a%5C%20par%5Cacute%7Ba%7Dbola%5C%20y%3Dx%5E2+1%3A%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20%5Cmathrm%7By%3D-x+%5Csqrt%7B2%7D%7D%5C%5C%20%5Cmathrm%7By%3Dx%5E2+1%7D%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright$

por **Medeiros** Sáb 02 Dez 2023, 23:06

[``Marx Br``]--P4pir9## escreveu:Não tinha entendido a relação do seno e cosseno com as retas no plano cartesiano,mas já entendi,tentei fazer de outras formas,mas não consegui.

Marx, agora entendi sua dúvida. Vou explicar o que pensei ao resolver.

Precisamos da eq. da reta r, logo precisamos saber sua declividade. Mas assim que bati o olho na questão percebi que a circunferência tem centro na origem (0, 0) e raio unitário (r=1), portanto na medida certa para a entendermos como o círculo trigonométrico -- ainda mais se considerado o dado ponto (√2/2, √2/2) onde acontece a tangência de r.

Ora, a reta tangente ao círculo é perpendicular ao raio no ponto de tangência; e esse ponto no círculo trigonométrico indica ângulo de 45º do raio. Portanto, tendo a declividade do raio (m) fica muito fácil obter a declividade (m_r) da reta r.

Não pensei que um desenho seria necessário pois os colegas reportar-se-iam imediatamente ao círculo trigonométrico quando escrevi "P --> sen$\alpha$ = cos$\alpha$ --> $\alpha$=45º" esperando que os colegas lessem como "P está na posição em que sen$\alpha$ = cos$\alpha$ logo $\alpha$=45º".

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outro modo

Além das outras duas excelentes resoluções trazidas pela Giovana, também pode ser pensado de um modo bem curto se atentarmos para a trigonometria (novamente). Reporte-se ao desenho acima trazido pelo Élcio.
Seja Q o ponto onde r cruza o eixo das abscissas; o segmento OQ tem medida OQ = sec$\alpha$. Sabendo que $\alpha$=45º, as coordenadas de Q são:
x_Q = sec$\alpha$ = sec45º = √2
y_Q = 0 , obviamente
então Q=(√2, 0) e como P=(√2/2, √2/2), daqui facilmente tiramos a declividade de r como m_r=-1 e montamos a eq. da reta r.
O resto segue igual, i.e., é só comparar as eqs. de r e da parábola.

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