Equação algébrica + número complexo

por JohnnyC Qua 22 Jul 2020, 19:55

UFU - MG

Determine os coeficientes a, b, c e d do polinômio: P(x) = x^4 + ax³ + bx² + cx + d de modo que P(i) = P(1 + i) = 1.

R: a = -2; b = 3; c = - 2 e d = 3

pessoal, se eu não fiz bobeira, eu desenvolvi P(i) e ficou: d - b + (c - a)i = 0

desenvolvi P(1 + i) : c + d - 2a - 5 + (2a + 2b + c)i = 0

minha ideia era, então, comparar as partes reais e imaginárias, mas não está dando certo, pois continuo tendo mais de 1 incógnita quando faço isso...

onde estou errando no meu pensamento ? obrigado

por **Elcioschin** Qua 22 Jul 2020, 20:44

x⁴ + a.x³ + b.x² + c.x + d

P(i) = 1 ---> i⁴ + a.i³ + b.i² + c.i + d = 1 ---> 1 - a.i - b + c.i + d = 1 --->

(d + 1 - b) + i.(c - a) = 0 ---> Iguale termos reais e termos imaginários:

c - a = 0 --> c = a
d + 1 - b = 1 ---> d - b = 0 ---> d = b

Faça o mesmo para P(1 + i) e monte mais duas equações e resolva

Se ainda tiver dúvidas poste o passo-a-passo da sua solução para checarnos

por JohnnyC Qua 22 Jul 2020, 20:51

Mestre, então, o senhor fez como eu, mas o senhor esqueceu de cancelar o 1 em P(i).
1 - a.i - b + c.i + d = 1
-ai - b + ci + d = 0
d -b + (c - a)i = 0
tal como eu fiz.

ah, e não entendi porquê que o senhor fez que as partes reais e imaginárias são nulas, uma vez que temos uma soma, e não um produto dos fatores...

por **Elcioschin** Qua 22 Jul 2020, 20:58

Dá na mesma: nós chegamos no mesmo resultado

d - b + (c - a).i = 0 + 0.i

Para ser verdade:

d - b = 0 ---> d = b
c - a = 0 ---> c = a

por JohnnyC Qua 22 Jul 2020, 21:04

Ah, correto!!!! Agora entendi. Vou tentar terminar a questão e, se eu conseguir, lhe aviso. Obrigado, Mestre.

por JohnnyC Qua 22 Jul 2020, 21:14

Deu certinho, Mestre. Obrigadão.

por OlMarcelo Qua 22 Jul 2020, 22:01

Você obteve:
P(i) = d − b + 1 + (c − a)i
Do enunciado: P(i) = 1, então:
d − b + 1 + (c − a)i = 1

A parte real do primeiro membro tem que ser igual a 1 e a parte imaginária tem que ser igual a zero (pois 1 = 1 + 0i). Portanto:
d − b + 1 = 1
c − a = 0

…você possui duas equações e quatro incógnitas.
Desenvolvendo P(1 + i) = 1 será obtido mais duas equações resultando num sistema de quatro equações e quatro incógnitas.

Não tenho o passo a passo mas…
p(1 + i) = −4 − 2a + 2ai + 2bi + ci + c + d
…e para conferir:
a = −2
b = 3
c = −2
d = 3