Dúvida Equações Irracionais

por johnjohnnb Ter 14 Jul 2020, 17:20

Se p e q são raízes reais da equação, com p>q, é corretor afirmar:

01. p é um número primo
02. p+q = 4
04. q²-p² = 10
08. q é um número natural

- OBS: Elevei ambos os lados ao quadrado, cheguei numa divisão de polinômios e não consegui avançar mais. Agradeço qualquer tipo de ajuda.

por **Elcioschin** Ter 14 Jul 2020, 17:44

Restrição: x > 0

Fazendo y = (x² + 3)/x:

√y - √(1/y) = 3/2 ---> Elevando ao quadrado:

y - 2 + 1/y = 9/4 ---> *4.y

4.y² - 8.y + 4 = 9.y ---> 4.y² - 17.y + 4 = 0

∆ = (-17)² - 4.4.4 ---> ∆ = 225 --> √∆ = 15

Raízes ---> y = (17 + 15)/8 = 4 e y = (17 - 15)/8 = 1/4

(x² + 3)/x = 4 ---> Agora calcule as raízes

por **Matheus Tsilva** Ter 14 Jul 2020, 17:45

Cara , tenta chamar uma raiz quadrada (do enunciado) de u , a outra sera 1/u
Obs importante: u é positivo

por al171 Ter 14 Jul 2020, 18:05

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

Considere m e n as raízes do seguinte polinômio P(x)

$Dúvida Equações Irracionais Png$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

Fazendo P(x)=0,

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Png$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

$Dúvida Equações Irracionais Gif$

Conclui-se que p=3 e q=1

por al171 Ter 14 Jul 2020, 18:42

Elcioschin escreveu:Restrição: x > 0

Fazendo y = (x² + 3)/x:

√y - √(1/y) = 3/2 ---> Elevando ao quadrado:

y - 2 + 1/y = 3/2 ---> *2y

2.y² - 4.y + 2 = 3.y ---> 2.y² - 7.y + 2 = 0

∆ = (-7)² - 4.2.2 ---> ∆ = 33

Raízes ---> y = (4 + √33)/4 e y = (4 - √33)/4

(x² + 3)/x = (4 + √33)/4 ---> Agora calcule as raízes

Na terceira linha da solução apresentada, existe um erro: não se elevou o 3/2 ao quadrado.

por **Elcioschin** Ter 14 Jul 2020, 18:50

Tens razão. Já editei a minha solução (em vermelho)

por al171 Ter 14 Jul 2020, 19:09

por al171 Ter 14 Jul 2020, 19:12

Elcioschin escreveu:Restrição: x > 0

Fazendo y = (x² + 3)/x:

√y - √(1/y) = 3/2 ---> Elevando ao quadrado:

y - 2 + 1/y = 9/4 ---> *4.y

4.y² - 8.y + 4 = 9.y ---> 4.y² - 17.y + 4 = 0

∆ = (-17)² - 4.4.4 ---> ∆ = 225 --> √∆ = 15

Raízes ---> y = (8 + 15)/8 e y = (8 - 15)/8

(x² + 3)/x = 23/8 ---> Agora calcule as raízes

Na sétima linha, outro erro identificado: inadvertidamente, o número 8 substituiu o número 17. O correto seria y=(17+15)/8 e y=(17-15)/8

por Matheus Iwison Ter 14 Jul 2020, 19:48

Eu fiz assim:

A = x^2 + 3
B = x
C = 3/2

Então: √(A/B) - √(B/A) = C

Elevando ambos os termos ao quadrado:
(A/B) - 2√[(A/B)(B/A)] + (B/A) = C^2 (A/B e B/A se cancelam)
(A/B) + (B/A) - 2 = C^2

(A^2 + B^2) / AB = C^2 + 2
A^2 + B^2 = (C^2 + 2) AB

Mas, como B = x, A = B^2 + 3 e C = 3/2, então:

(B^2 + 3)^2 + B^2 = (9/4 + 2)(B^2 + 3)B

x^4 + 6x^2 + 9 + x^2 = (17/4)(x^3 + 3x)
4(x^4 + 7x^2 + 9) = 17(x^3 + 3x)
4x^4 + 28x^2 + 36 = 17x^3 + 51x
4x^4 - 17x^3 + 28x^2 - 51x + 36 = 0 (I)

Pelo teorema das raízes racionais, encontramos várias possíveis raízes a partir dos divisores de 36 e 4. Testando, vemos que 1 e 3 são de fato raízes:

x = 1: 4 - 17 + 28 - 51 + 36 = 68 - 68 = 0
x = 3: 4*81 - 17*27 + 28*9 - 51*3 + 36 = 612 - 612 = 0

Dividindo o polinômio em (I) por (x-1) e (x-3) obtemos 4x^2 - x + 12 = 0
Δ = (-1)^2 - 4*4*12 = 1 - 192 = -191

Ou seja, as demais raízes são imaginárias. Logo, há apenas duas raízes reais

S = {1,3} (Como p > q, p = 3 e q = 1)

A partir daí é só verificar as afirmativas