PROBABILIDADE

Uma linha de produção de determinada fábrica possui uma máquina que apresenta defeito em 20% de produção. Qual a probabilidade de que entre 5 peças, escolhidas ao acaso, 3 sejam defeituosas ?

a) 0,0115
b) 0,0278
c) 0,0325
d) 0,0453
e) 0,0512

gabarito letra e)

C(5, 3) = 10

p = 10.0,8².0,2³ ---> p = 0,0512

I) imaginando uma amostra com x peças:

[latex]P(\Omega )=\frac{5!}{3!\cdot 2!}\cdot \frac{0.2x}{x}\cdot \frac{0.2x-1}{x-1}\cdot \frac{0.2x-2}{x-2}\cdot \frac{0.8x}{x-3}\cdot \frac{0.8x-1}{x-4}[/latex]

[latex]P(\Omega )=\frac{10}{5^5}\cdot \frac{x}{x}\cdot \frac{x-5}{x-1}\cdot \frac{x-10}{x-2}\cdot \frac{4x}{x-3}\cdot \frac{4x-5}{x-4}[/latex]

[latex]P(\Omega )=\frac{10}{5^5}\cdot \frac{x-5}{x-1}\cdot \frac{x-10}{x-2}\cdot \frac{4x}{x-3}\cdot \frac{4x-5}{x-4}[/latex]



II)Como a máquina produz peças indefinidamente temos que a amostra tende ao infinito. Logo,

[latex]P(\Omega )=\frac{10}{5^5}\cdot \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{x-5}{x-1}\cdot \frac{x-10}{x-2}\cdot \frac{4x}{x-3}\cdot \frac{4x-5}{x-4}}[/latex]

[latex]P(\Omega )=\frac{10}{5^5}\cdot 16=0.0512[/latex]

Muito obrigado Lucius, Você poderia me mandar o nome desse assunto para que eu estude melhor, pois mesmo vendo a resolução, ainda não consigo compreender muito bem essas fórmulas envolvindo o "x".

Elcio qual é o nome dessa técnica, no caso do (0,8² . 0,2³) ? ficou bem bacana, queria estudar melhor, esse assunto.

São 5 peças sendo 3 com defeito e 2 boas

Cada peça com defeito pD = 20 % = 0,2 e cada peça boa pB = 80 % = 0,8
___ ___ ___ ___ ___
0,8 .0,8 .0,2 .0,2 .0,2 = 0,8³.0,2²

Estas 5 possibilidades devem ser combinadas 3 a 3 (ou 2 a 2): C(5, 3) = C(5,2) = 10

Método empregado pelo colega Lucius: "Anagrama com repetição". Pesquise.

Certo.
Primeiramente, eu devo dizer que a minha solução deve ser considerada apenas como uma 2ª via. (A resolução do Elcioschin é bem melhor)
Secundariamente, tome cuidado para não desfocar do objetivo principal. (Seja lá qual for)

Dito isto vamos lá:
Vou deixar mais explicado para ver se melhora. 

I)Vai ser usado combinatória e probabilidade (eu sei que disser isso é muito vago, talvez o Elcioschin saiba um tópico mais especifico) 

i) Imagine que você produziu x peças. Pelo enunciado temos:

20% de X estão com defeito. Logo temos 0.2*x peças com defeito e 0.8*x peças boas.

ii)Agora vamos pegar 5 peças (1ª, 2ª e 3ª ruims; e 4ª e 5ª boas)

Logo primeiro eu tiro uma peça ruim:

[latex]P_{1}=\frac{numero\; de\; pecas\; ruims\; nao\; escolhidas}{numero\; de\; pecas\; totais\; nao\; escolhidas}=\frac{0.2\cdot x}{x}[/latex]

depois disso eu pego outra ruim:

[latex]P_{2}=\frac{numero\; de\; pecas\; ruims\; nao\; escolhidas}{numero\; de\; pecas\; totais\; nao\; escolhidas}=\frac{0.2\cdot x - 1}{x - 1}[/latex]

Outra ruim:

[latex]P_{3}=\frac{numero\; de\; pecas\; ruims\; nao\; escolhidas}{numero\; de\; pecas\; totais\; nao\; escolhidas}=\frac{0.2\cdot x - 2}{x - 2}[/latex]

Agora uma boa:

[latex]P_{4}=\frac{numero\; de\; pecas\; boas\; nao\; escolhidas}{numero\; de\; pecas\; totais\; nao\; escolhidas}=\frac{0.8\cdot x}{x - 3}[/latex]

Agora outra boa:

[latex]P_{5}=\frac{numero\; de\; pecas\; boas\; nao\; escolhidas}{numero\; de\; pecas\; totais\; nao\; escolhidas}=\frac{0.8\cdot x -1}{x - 4}[/latex]

Portanto a probabilidade no caso (1ª, 2ª e 3ª ruins; e 4ª e 5ª boas) é:

[latex]P'_{1}=\frac{0.2\cdot x}{x}\cdot \frac{0.2\cdot x - 1}{x - 1}\cdot \frac{0.2\cdot x - 2}{x - 2}\cdot \frac{0.8\cdot x}{x - 3}\cdot \frac{0.8\cdot x -1}{x - 4}[/latex]

iii)Agora perceba que os casos (1ª, 2ª e 3ª ruins; e 4ª e 5ª boas) ou (1ª, 3ª e 4ª ruins; e 2ª e 5ª boas) ou (1ª, 3ª e 5ª ruins; e 2ª e 4ª boas) ou ... terão a mesma probabilidade de ocorrerem.

Logo, temos que a probabilidade no caso geral é:

[latex]P=\binom{5}{3}\cdot P'_{1}[/latex]

[latex]P=\binom{5}{3}\cdot \frac{0.2\cdot x}{x}\cdot \frac{0.2\cdot x - 1}{x - 1}\cdot \frac{0.2\cdot x - 2}{x - 2}\cdot \frac{0.8\cdot x}{x - 3}\cdot \frac{0.8\cdot x -1}{x - 4}[/latex]

iv) ajeitando a equação:

[latex]P=\frac{10}{5^5}\cdot\frac{x - 5}{x - 1}\cdot \frac{x - 10}{x - 2}\cdot \frac{4\cdot x}{x - 3}\cdot \frac{4\cdot x -5}{x - 4}[/latex]

II)Será usado iniciação ao calculo (tópico de limites)

i)Como a máquina produz peças indefinidamente temos que a amostra tende ao infinito. (x=∞)

[latex]P=\frac{10}{5^5}\cdot\frac{x - 5}{x - 1}\cdot \frac{x - 10}{x - 2}\cdot \frac{4\cdot x}{x - 3}\cdot \frac{4\cdot x -5}{x - 4}[/latex]

[latex]P=\frac{10}{5^5}\cdot\frac{16x^4-260x^3+1100x^2-1000x}{x^4-10x^3+35x^2-50x+24}[/latex]

[latex]P=\frac{10}{5^5}\cdot\frac{16\cdot (x^4-10x^3+35x^2-50x+24)+(-100x^3+540x^2-200x-384)}{x^4-10x^3+35x^2-50x+24}[/latex]

[latex]P=\frac{10}{5^5}\cdot\left [16-\frac{100x^3-540x^2+200x+384}{x^4-10x^3+35x^2-50x+24} \right ][/latex]

ii) então, sabendo que 1/x = 1/∞ = 0, temos que:

[latex]\frac{100x^3-540x^2+200x+384}{x^4-10x^3+35x^2-50x+24}=\frac{\frac{100x^3-540x^2+200x+384}{x^4}}{\frac{x^4-10x^3+35x^2-50x+24}{x^4}}=\frac{100\cdot \frac{1}{x}-540\cdot \frac{1}{x^2}+200\cdot \frac{1}{x^3}+384\cdot \frac{1}{x^4}}{1-10\cdot \frac{1}{x}+35\cdot \frac{1}{x^2}-50\cdot \frac{1}{x^3}+24\cdot \frac{1}{x^4}}[/latex]

[latex]\frac{100x^3-540x^2+200x+384}{x^4-10x^3+35x^2-50x+24}=\frac{100\cdot 0-540\cdot 0+200\cdot 0+384\cdot 0}{1-10\cdot 0+35\cdot 0-50\cdot 0+24\cdot 0}=\frac{0}{1}=0[/latex]

iii)Logo,

[latex]P=\frac{10}{5^5}\cdot\left [16-\frac{100x^3-540x^2+200x+384}{x^4-10x^3+35x^2-50x+24} \right ]=\frac{10}{5^5}\cdot[16-0]=\frac{10}{5^5}\cdot16[/latex]

[latex]P=\frac{10}{5^5}\cdot16=0.0512[/latex]

Perfeito, muito obrigado pela atenção e explicação de vocês ! Clareou muito aqui ! Obrigado!!