arctg ( 1/ 2)

por Luciano Augusto Ter 19 maio 2020, 20:40

Determinar o ângulo B de um triângulo ABC retângulo em A sabendo que se verifica a relação (1/c) + (2/b) = ((√5)/h), onde h é a altura relativa a hipotenusa.

Resposta: B = 26º34'

Estou com duvida em relação a resposta, eu cheguei em "B = arctg ( 1/ 2 )", porem o livro apresenta a forma em graus e minutos, procurei na internet alguma forma de fazer o calculo do arctg mas oque eu encontrei foi somente como revolver com a calculadora, teria alguma forma de descobrir algebricamente o valor de "arctg ( 1/ 2 )".

Grato.

por **Elcioschin** Ter 19 maio 2020, 21:55

Mostre o passo-a-passo da sua solução para analisarmos.

por MarvintheMartian Ter 19 maio 2020, 23:04

Caro Luciano, pode ficar tranquilo. Sua resposta está mais correta que o gabarito do livro, que fez uma aproximação do valor numérico de arctg(1/2).

Sobre o seu questionamento, vc pergunta se existe como descobrir o valor exato do arco tangente.
O que ocorre é que em geral não se pode determinar algebricamente a maioria dos valores de funções trigonométricas, nem das tradicionais e nem das inversas. Em geral o cálculo dos seus valores numéricos é feito via expansão do respectivo polinômio de Taylor associado a função.
Existem casos onde o valor é notável e facilmente determinado usando uma construção geométrica, como é o caso do arctan(1), por exemplo. Sobre o caso em particular que você perguntou eu acredito que não exista solução por esse tipo de artifício.

Abraços

por Luciano Augusto Qua 20 maio 2020, 01:01

Obrigado MarvintheMartian, ainda não tinha ouvido falar de expançao do polinomio de Taylor, obrigado por ajudar com minha duvida.

por Luciano Augusto Qua 20 maio 2020, 01:17

Resolucão da Questão:

Fazendo inicialmente um triangulo ABC sendo A angulo reto e a, b e c lados do triangulo opostos aos respectivos angulos.
Fazendo h altura relativa a hipotenusa.

Temos:
senB=b/a --> b = a . senB I
cosB=c/a --> c = a . cosB II
a.h = b.c --> h = b . c / a III
I e II em III :
h = a^2 . senB . cosB / a --> h = a . senB . cosB IV
Substituindo a, b e h na relação dada no enunciado:
1/(a . cosB) + 2/(a . senB) = \/(5) / (senB . cosB) --> tgB = (1/2) --> |B = arctg(1/2) ou B = 26°34'|

por **Elcioschin** Qua 20 maio 2020, 10:05

Luciano

Uma curiosidade: o gabarito tem um pequeno erro.
Usei calculadora científica para calcular:

artg(1/2) ~= 26,565º ~= 26º + 0,565.60' = 26º39'