arctg ( 1/ 2)

Mostre o passo-a-passo da sua solução para analisarmos.

Caro Luciano, pode ficar tranquilo. Sua resposta está mais correta que o gabarito do livro, que fez uma aproximação do valor numérico de arctg(1/2).

Sobre o seu questionamento, vc pergunta se existe como descobrir o valor exato do arco tangente. 
O que ocorre é que em geral não se pode determinar algebricamente a maioria dos valores de funções trigonométricas, nem das tradicionais e nem das inversas. Em geral o cálculo dos seus valores numéricos é feito via expansão do respectivo polinômio de Taylor associado a função.
Existem casos onde o valor é notável e facilmente determinado usando uma construção geométrica, como é o caso do arctan(1), por exemplo. Sobre o caso em particular que você perguntou eu acredito que não exista solução por esse tipo de artifício.

Abraços

Obrigado MarvintheMartian, ainda não tinha ouvido falar de expançao do polinomio de Taylor, obrigado por ajudar com minha duvida.

Resolucão da Questão:

Fazendo inicialmente um triangulo ABC sendo A angulo reto e a, b e c lados do triangulo opostos aos respectivos angulos.
Fazendo h altura relativa a hipotenusa.

Temos:
senB=b/a --> b = a . senB I
cosB=c/a --> c = a . cosB II
a.h = b.c --> h = b . c / a III
I e II em III :
h = a^2 . senB . cosB / a --> h = a . senB . cosB IV
Substituindo a, b e h na relação dada no enunciado:
1/(a . cosB) + 2/(a . senB) = \/(5) / (senB . cosB) --> tgB = (1/2) --> |B = arctg(1/2) ou B = 26°34'|

Luciano

Uma curiosidade: o gabarito tem um pequeno erro.
Usei calculadora científica para calcular:

artg(1/2) ~= 26,565º ~= 26º + 0,565.60' = 26º39'