Inequação Arctg

Boa tarde amigos do fórum, gostaria de saber onde estou errando na solução da seguinte questão. Não obtive resposta.
O intervalo I C ℝ , que contém todas as soluções da inequação :
Arctg ([x+1]/2) + Arctg [(1-x)/2] ≥ ∏/6

(A) [-1,4]
(B) [-3,1]
(C) [-2,3]
(D) [0,5]
(E) [4,6]

Gabarito :

Spoiler:

Minha resolução :

Seja Arctg ([x+1]/2) = α e Arctg ([1-x]/2) = β

Então :

α + β ≥ ∏/6

Tg(α) = [x+1]/2
Tg(β) = [1-x]/2

Aplicando a tangente na desigualdade:

Tg(α + β) ≥ Tg(∏/6)

[Tg(α) + Tg(β) ] / 1 - Tg(α).Tg(β) ≥ √3/3

Substituindo os valores:

4 [ (1+x)/2 + (1-x)/2 ] / 4 - (1-x²) ≥ √3/3

4 / (3 + x²) ≥ √3/3

12 ≥ 3√3 + √3.x²

x².√3 + 3√3 - 12 ≤ 0

∆ = 0² - 4.√3.(3√3 -12)
∆ = -4.3.3 + 48.√3

∆ = 48.√3 - 36

x' = ±√(48.√3 - 36)/2.√3

Aqui no final eu achei a raiz da desigualdade em questão.. Como se pede o valor menor ou igual a zero e a função tem concavidade para cima , então o conjunto solução será entre as raízes, incluindo elas.

Porém, não estou conseguindo facilitar essa conta para achar o intervalo..

Agradeço pela ajuda

Pelo enunciado dá para saber que:

|tg a = (1 + x)/2 , -pi/2 < a < pi/2
|tg b = ( 1 - x)/2 , -pi/2 < b < pi/2
|a + b ≥ 30º

tg(a + b) = 4/(3 + x²)

tg(a + b) ≥ tg 30º
4/(3 + x²) ≥ 1/√3
x² + 3 ≤ 4√3

Fazendo √3 = 1,73:

x² ≤ 3,92
P/ facilitar
x² < 4
-2 < x < 2

(C) [-2,3]

Acho que o problema foi você ter tentado resolver de qualquer jeito com a √3

De qualquer modo ficaria
-√(4√3 – 3) ≤ x ≤ √(4√3 – 3)

guilhermecodean escreveu:

4/(3 + x²) ≥ 1/√3
x² + 3 ≤ 4√3

Fazendo √3 = 1,73:

x² ≤ 3,92
P/ facilitar
x² < 4
-2 < x < 2

(C) [-2,3]

Acho que o problema foi você ter tentado resolver de qualquer jeito com a raiz...

Amigo,
Obrigado pela ajuda. Realmente não tinha enxergado isso, foi pra facilitar mesmo hahah.. Continuando as contas ,dava um numero muito feio.

Muito agradecido

De nada!!