Questão de Soma .

Ache o valor da soma : 


2³+4³+6³+...+48³ + 50³                                                   Gab: 845.000

Tem como deduzir uma forma fechada pra soma de n cubos, seria +- assim:

Primeiro você tem que 1 + 2 + ... + n = n.(n+1)/2

Agora você faz (n + 1)³ = n³ + 3.n² + 3.n + 1, daí:

2³ = 1³ + 3.1² + 3.1 + 1
3³ = 2³ + 3.2² + 3.2 + 1
...
n³ = (n - 1)³ + 3.(n - 1)² + 3.(n - 1) + 1
(n + 1)³ = n³ + 3.n² + 3.n + 1

Somando tudo:

(n + 1)³ = 1³ + 3.(1² + 2² + ... + n²) + 3.(1 + 2 + ... + n) + n
(n + 1)³ = 3.(1² + 2² + ... + n²) + 3.n.(n + 1)/2 + n + 1
(n + 1).((n + 1)² - 3.n/2 - 1) = 3.(1² + 2² + ... + n²)
(n + 1).(n² + 2.n - 3.n/2) = 3.(1² + 2² + ... + n²)
(n + 1).n.(2n + 1)/2 = 3.(1² + 2² + ... + n²)
1² + 2² + ... + n² = n.(n + 1).(2n + 1)/6

Encontramos assim a soma dos quadrados, agora para a soma dos cubos basta desenvolver (n + 1)^4 e fazer os mesmos passos para encontrar a soma dos quadrados, não irei colocar aqui né kkk, mas fica aí a ideia, usando a mesma ideia você pode encontrar a soma das quartas potências, das quintas, das sextas e por aí vai, mas essas últimas não são muito comuns de se ver.

Encontrando a soma dos cubos, você poderia aplicar nessa soma da questão.

Opa, muitíssimo obrigado 

Fantecele,

acho que não é só isso, calcular a soma dos primeiros n cubos e ao fim subtrair 1 -- ou, pelo menos, minhas contas estao muito erradas e não sei onde estou errando. Digo isto porque há algum tempo atrás (coisa de pouco mais de 10 anos) cometi a brincadeira de fazer esse cálculo até a base 7. Recuperei dos meus alfarrábios e mostro o resultado até esta parte:

S_1 = 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2}

S_2 = 1^2+2^2+3^2+...+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}  = S_1 \cdot \frac{(2n+1)}{3}

S_3 = 1^3+2^3+3^3+...+n^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4}  = S_1^2

agradeço suas correções. Abç

Olá Fantecele

esquece. Me dou conta, agora, de que a questão somente considera as bases pares. Então devemos fazer aquela introdução da Giovana e fica tudo certo.

Opa, isso mesmo, acabei só falando de aplicar a soma dos cubos na questão e não cheguei a mencionar aquela introdução da Giovana kkk, mas tem que colocar o 2³ em evidência e aí depois aplicar essa fórmula fechada. A não ser que se encontre uma soma somente para os pares, mas aí ia dar muito trabalho.