equação trigonométrica

Resolva para x ∈  ℝ:
Sen³x+cos³x=1 


estou achando como solução x=  + kπ, mas o gabarito do f.m.e diz que é x= π/2 + 2kπ ou x= 2kπ.

a³ + b³ = (a + b).(a² + b² - a.b)

sen³x+ cos³x = (senx + cosx).[(sen²x + cos²x) - senx.cosx]

sen³x+ cos³x = (senx + cosx).(1 - sen(2.x)/2] --> Temos duas possibilidades:

senx + cosx = 0 ---> Resolva

1 - sen(2.x)/2 = 0 ---> sen(2.x) = 2 ---> Resolva

Por que senx +cosx = 0 é uma solução, se a sen³x+ cos³x =1 e não igual a 0?

Foi desatenção minha na leitura do enunciado. Desconsidere, portanto, a  minha solução.
Sua solução não está certa, pois para k = 1 --->

x = pi ---> sen³pi = 0 e cos³pi = - 1 ---> Ficaria -1 = 1

Por favor poste o passo-a-passo da sua solução para podermos analisar.

elevei ambos os lados ao quadrado, obtendo:
sen6 x + cos6 x + 2sen3 x * cos3 x = 1
substitui sen 6 x + cos6 x por 1 - (3sen2 x/4) e 2sen^3 x *cos^3 x por (sen^3 2x)/4 
obtendo no final: sen^3 2x = 3* sen^2 2x

Você não mostrou como chegou a: sen⁶x + cos⁶x = 1 - 3.sen²(x)/4)

Para 2.sen³x.cos³x é fácil:

2.sen³x.cos³x = 2.[senx.cosx]³ = 2.[(2.senx.cosx)/2]³ = 2.[sen(2.x)/2]³ =

sen³(2.x)/4

Por favor, detalhe um pouco a mais, mostrando o passo-a-passo.

sen6x + cos6x = 1 - 3.sen²(x)/4) na verdade está errado, peço desculpas, o correto seria 1-3sen² 2x/4. segue demonstração:
estou colocando em imagem pois inda não me familiarizei com o forum e não sei escrever as equações de modo pratico.

Para escrever certo no fórum:

1) O ideal é usar o Editor LaTeX do fórum (fica perfeito)

2) Outro modo é usar os símbolos da tabela ao lado SÍMBOLOS ÚTEIS.

3) Para digitar, sem o LaTeX, numeradores/denominadores, bases/expoentes, índices, logaritmandos/bases e radicandos, deve-se usar parênteses/chaves/colchetes para definir bem cada um.

4) O sinal de multiplicação não deve ser o x para evitar confusão com a variável x. Usa-se * ou ponto (.) quando não puder fazer confusão com quantias de dinheiro: R$1.200,00

Exemplo

x + 2
------- ---> (x + 2)/(x + 3)
x + 3

2^{x + 2} ---> 2^(x + 2)

a_x+2 ---> a_(x + 2)

log₂(x + 2) ---> log[2](x + 2)

√(x + 2)

Dicas para escrever índices expoentes:

2^x ---> 2[sup.]x[/sup.] sem os dois pontos
a₁ ---> a[sup.]1[/sup.] sem os dois pontos

sen⁶x + cos⁶x + 2.sen³x.cos³x = 1

1 - (3/4).sen²(2.x) + (1/4) sen³(2.x) = 1

sen³(2.x) = 0 ---> Na 1ª volta ---> x = 0 ou x = pi

2.x = 0 + 2.k.pi ---> x = k.pi

2.x = pi + 2.k.pi ---> x = pi/2 + k.pi

entendi, uma ultima coisa, se 2.x= 0 + 2.k.pi e 2x= pi + 2.k.pi, isso não equivale a 2x= 0 + k.pi? de modo que a solução ficaria x= k.pi/2 ?