PEMAT- UFRJ

Considere o espaço \Re^{3} , munido de um referencial ortonormal. Sejam A o ponto de coordenadas (1,2,2) e A a esfera de equação x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9

Determine um sistema com duas equações cartesianas cujo conjunto solução seja a reta normal ao plano p ,que é tangente a esfera S no ponto A, e passa pelo ponto A.

Como o plano p é perpendicular a esfera, ao pegar um vetor que leva o ponto de tangência ao centro, ele será perpendicular ao plano. Iremos observar o vetor desejado:

 Centro(0,0,0)
 A(1,2,2)

 (x-0)/(1-0)=(y-0)/(2-0)=(z-0)/(2-0)
 2x=y=z

  A questão já está feita, porém gostaria de comentar como descobrir o plano sabendo da reta, no caso usarei os dois pontos para descobrir o vetor AC e irei usar o fato dele ser normal ao plano.

 vetor AC(-1,-2,-2)
 
  Se o vetor AC é perpendicular ao plano AC, qualquer vetor AX com X pertencente a p tem produto escalar AX.AC=0 
 AX((x-0),(y-0),(z-0))
 AX.AC=0=-1(x-1)-2(y-2)-2(z-2)
 x-1+2y-4+2z-4=0
 x+2y+2z=9

  Como dito, a questão saiu rapidamente, porém não custou nada relembrar como usar a perpendicularidade no R3.
  Qualquer dúvida fale.