Lentes Esféricas

"Determine a imagem do segmento luminoso AQ. A seguir, verifique se a inclinação de A'Q', em relação ao eixo principal, continua sendo 60º. O ponto A do segmento coincide com o ponto antiprincipal da lente."



Observação: Na determinação da imagem, a inclinação continuou sendo de 60º. No entanto, o gabarito diz ser maior que 60º. Em todas as vezes que fiz, obtive sempre o mesmo resultado, em que o ângulo agudo de inclinação da imagem continua sendo o mesmo da inclinação do objeto real. Alguém saberia explicar esse resultado do gabarito? Ou a resposta do livro está errada? Obrigado pela atenção.

O gabarito está correto.

Para o ponto A: p'(A) = p (A) = 2.f

Seja B o pé da perpendicular de Q sobre o eixo:

AB = AQ.cos60° ---> AB = AQ/2

p(B) = 2.f - AQ/2

1/f = 1/p(B) + 1/p'(B)

Calcule p'(B) e depois calcule o ângulo entre a imagem A'Q' e o eixo. Você verá que não é 60°.

Agradecido por dispor do seu tempo em procurar ajudar. Todavia, apesar de ter dado continuidade ao seu cálculo, não consegui resolver precisamente a questão, uma vez que não consegui estabelecer as relações algébricas, ou geométricas, necessárias no desenvolvimento do cálculo para se chegar a uma conclusão objetiva.



A minha conclusão se baseia na determinação gráfica da imagem conforme se demonstra na figura acima. É um exemplo com um ângulo de 63,43°, pois utilizei um programa pra ser absolutamente preciso, e, nele, o ângulo de 60° é difícil de obter. Mas fiz com uma valor muito próximo a 60° e o resultado é idêntico. Fiz também com o ângulo de 45° e a mesma coisa, o ângulo da imagem é o mesmo.

Vou usar Geometria Analítica para demonstrar:

Seja O(0, 0) o centro óptico da lente e seja AFOF'A' o eixo x. Trace o eixo y
Vou fazer FO = F'O = f = 2 e AQ = 2 ---> F'O =  F'A' = 2 ---> OA = OA' = 4
Seja Q'(xQ', yQ') o ponto que representa a imagem do ponto Q
Por Q trace um raio raio incidente paralelo ao eixo x até encontrar a lente em P(0, yP) e trace o raio refratado PF'
Por Q trace um raio incidente QO. Trace o raio refratado, prolongamento de QO, até encontrar o raio PF' no ponto Q'

Temos: A(-4, 0), F(-2, 0), F'(2, 0), A'(4, 0)

Seja B o pé da perpendicular de Q sobre o eixo x e B' o pé da perpendicular de Q' sobre o eixo x

AB = AQ.cos60º = 2.(1/2) ---> AB = 1 ---> xB = xA - (-1) ---> xB = -3 ---> BO = 3
BQ = AQ.sen60º = 2.(√3/2) ---> BQ = √3 ---> yQ = √3 ---> Q(-3, √3)

yP = yQ ---> yP = √3 ---> P(0, √3)

Reta QOQ' ---> m = -BQ/BO ---> m = - √3/3 ---> y = (-√3/3).x

Reta PQ' ---> m' = - OP/OB' ---> m' = - √3/2 ---> y - √3 = (-√3/2).x

Q' é o ponto de encontro das duas retas. Encontre yQ' e depois xQ'.
DEpois encontre o cosseno ou seno do ângulo B'A'Q' e veja que não será 60º

Boa noite! Mais uma vez não consegui dar prosseguimento ao seu cálculo, no entanto, algumas de suas ideias me fizeram desenvolver o cálculo abaixo:



Como pode ver, o resultado que obtive foi de 60°. O que você acha do cálculo?

Obrigado pela disposição em ajudar.

Suas contas estão corretas. 
Fiz um desenho para o exemplo que eu citei, com f = OF = 2 , OA = 4 e AQ = 2

Isto significa que o gabarito da questão está errado.
Significa também que o ângulo entre o objeto e o eixo óptico é uma invariante:

Perfeito! Obrigado!