Quantas são as soluções inteiras da equação
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Quantas são as soluções inteiras da equação
Oi, Gente! Tudo bem? Com que método eu consigo resolver essa questão e questões parecidas?
Quantas são as soluções inteiras da equação
com
Quantas são as soluções inteiras da equação
com
Alternativas
24.
60.
120. (Alternativa Correta)
180.
240.
Última edição por Igor Kauan Souza da Mata em Qui 23 maio 2019, 13:17, editado 2 vez(es)
Igor Kauan Souza da Mata- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 26/10/2018
Idade : 26
Localização : Belo Horizonte, MG, Brasil
Re: Quantas são as soluções inteiras da equação
Cada um deve receber no mínimo 2, resultando em 6 já distribuídos.
Restam 14 para distribuir
Como cada um dos três pode variar de 0 a 14, são 15 possibilidades:
n = 15 + 14 + 13 + ..... + 1 ---> n = 120
Só como curiosidade vamos começar pelas primeiras 15 possibilidades:
x -y -z
0 -0 14
0 -1 13
0 -2 12
0 -3 11
0 -4 10
0 -5 -9
0 -6 -8
0 -7 -7
0 -8 -6
0 -9 -5
0 10 -4
0 11 -3
0 12 -2
0 13 -1
0 14 -0
Restam 14 para distribuir
Como cada um dos três pode variar de 0 a 14, são 15 possibilidades:
n = 15 + 14 + 13 + ..... + 1 ---> n = 120
Só como curiosidade vamos começar pelas primeiras 15 possibilidades:
x -y -z
0 -0 14
0 -1 13
0 -2 12
0 -3 11
0 -4 10
0 -5 -9
0 -6 -8
0 -7 -7
0 -8 -6
0 -9 -5
0 10 -4
0 11 -3
0 12 -2
0 13 -1
0 14 -0
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71807
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Re: Quantas são as soluções inteiras da equação
Tem uma maneira de fazer, mas faz muito tempo que não vejo, ai vou tentar dar a ideia.
Primeiro você tem que eles são tudo maior ou igual a 2, então x = a + 2, y = b + 2 e z = c + 2, então x + y + z = 20 vira a + b + c = 14.
Umas soluções são 1 + 2 + 11 = 14, 7 + 3 + 4 = 14, 0 + 1 + 13 = 14, 13 + 0 + 1 = 14, 1 + 13 + 0 = 14, então se você fazer o "1" como sendo uma "barra", 1 = /, então as soluções vão ser permutações dessas barras com os mais, por exemplo 1 + 2 + 11 = / + // + ///////////, ou também teremos 2 + 11 + 1 = // + /////////// + /, ou 5 + 5 + 4 = ///// + ///// + ////, ou 0 + 7 + 7 = + /////// + ///////, ou 14 + 0 + 0 = ////////////// + +, ou 0 + 14 + 0 = + ////////////// +, acho que deu pra perceber que as soluções vão ser as permutações de "16 casas" entre as barras e os mais, sendo 14 barras e 2 mais, então o número de soluções vai ser usando permutação com repetição 16!/(14!.2!) = 120.
Se não em engano a ideia é assim, se deu resultado ta valendo kkk.
Tinha esquecido de falar ali em cima, mas o a, b e c são ≥ 0
Primeiro você tem que eles são tudo maior ou igual a 2, então x = a + 2, y = b + 2 e z = c + 2, então x + y + z = 20 vira a + b + c = 14.
Umas soluções são 1 + 2 + 11 = 14, 7 + 3 + 4 = 14, 0 + 1 + 13 = 14, 13 + 0 + 1 = 14, 1 + 13 + 0 = 14, então se você fazer o "1" como sendo uma "barra", 1 = /, então as soluções vão ser permutações dessas barras com os mais, por exemplo 1 + 2 + 11 = / + // + ///////////, ou também teremos 2 + 11 + 1 = // + /////////// + /, ou 5 + 5 + 4 = ///// + ///// + ////, ou 0 + 7 + 7 = + /////// + ///////, ou 14 + 0 + 0 = ////////////// + +, ou 0 + 14 + 0 = + ////////////// +, acho que deu pra perceber que as soluções vão ser as permutações de "16 casas" entre as barras e os mais, sendo 14 barras e 2 mais, então o número de soluções vai ser usando permutação com repetição 16!/(14!.2!) = 120.
Se não em engano a ideia é assim, se deu resultado ta valendo kkk.
Tinha esquecido de falar ali em cima, mas o a, b e c são ≥ 0
fantecele- Fera
- Mensagens : 1217
Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
Re: Quantas são as soluções inteiras da equação
O método das barras que o fantacele n lembra kkk
Como o mestre Elcio explicou, vc não quer x+y+z=20, mas X+Y+Z=14
(X=x+2, Y=y+2, Z=z+2).
Como achamos as soluções inteiras de X+Y+Z=14?
Vendo as soluções
o / oo / ooooooooooo -> 1 + 2 + 11 = 14
oooo / o / ooooooooo -> 4 + 1 + 9 = 14
/ / oooooooooooooo -> 0+0+14 = 14 ...
É claro que esse é o arranjo de 16 letras, com repetição de 14 e 2 (14 barras, e 2 o's).
De forma geral, quando vc tem a1+a2+a3+...+an = k
Vc fará a combinação de k mais o número de +'s, que perceba, vai ser n-1(numa soma de n termos, há n-1 +'s), por k.
a+b+c+d = 26 Soluções inteiras
Combinação de (26+3) por 26 -> 29!/26!3!
A solução começa a ficar muito elegante, Igor, quando limitamos as variáveis por cima, não por baixo. E se quiséssemos x=<5 ?
Como o mestre Elcio explicou, vc não quer x+y+z=20, mas X+Y+Z=14
(X=x+2, Y=y+2, Z=z+2).
Como achamos as soluções inteiras de X+Y+Z=14?
Vendo as soluções
o / oo / ooooooooooo -> 1 + 2 + 11 = 14
oooo / o / ooooooooo -> 4 + 1 + 9 = 14
/ / oooooooooooooo -> 0+0+14 = 14 ...
É claro que esse é o arranjo de 16 letras, com repetição de 14 e 2 (14 barras, e 2 o's).
De forma geral, quando vc tem a1+a2+a3+...+an = k
Vc fará a combinação de k mais o número de +'s, que perceba, vai ser n-1(numa soma de n termos, há n-1 +'s), por k.
a+b+c+d = 26 Soluções inteiras
Combinação de (26+3) por 26 -> 29!/26!3!
A solução começa a ficar muito elegante, Igor, quando limitamos as variáveis por cima, não por baixo. E se quiséssemos x=<5 ?
GBRezende- Jedi
- Mensagens : 227
Data de inscrição : 18/10/2017
Idade : 26
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Brasil
Re: Quantas são as soluções inteiras da equação
Aaa sim, então é assim mesmo kkk, combinatória nunca foi o meu forte, mas tamo tentando.
fantecele- Fera
- Mensagens : 1217
Data de inscrição : 14/09/2014
Idade : 27
Localização : Nova Venécia-ES, Brasil
Re: Quantas são as soluções inteiras da equação
Obrigado, gente! Vocês são sensacionais
Igor Kauan Souza da Mata- Padawan
- Mensagens : 67
Data de inscrição : 26/10/2018
Idade : 26
Localização : Belo Horizonte, MG, Brasil
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