Soluções inteiras não-negativas de equação

por **mauk03** 10/8/2013, 6:23 pm

Quantas são as soluções inteiras não-negativas de x+y+z+w=20 nas quais x>y.

Resposta:

por Paulo Testoni 4/10/2013, 7:25 pm

Hola.

Observe que x>y ou y>x possuem o mesmo número de soluções. Se excluirmos as soluções em que x=y, a metade do restante se refere a x

Cn+p – 1, p = C20+4-1,20= 1771 total de combinações.

(x,y,z,w), para x=y, temos:

Quando x=y=0, fica:

(0,0,0,20)-(0,0,1, 19)-(0,0,2, 18)-(0,0,3 , 17)-(0,0, 4,16 )(0,0,5,15 )- (0,0,6,14 )- (0,0,7, 13)

(0,0,8 ,12)- (0,0,9,11)-(0,0,10,10)- (0,0,11,9)- (0,0,12,8 )- (0,0,13,7)- (0,0, 14,6)- (0,0,15,5)-

(0,0,16 ,4)- (0,0,17,3)-(0,0,18,2)-(0,0,19,1)-(0,0,0,20). Note que temos 21 situações.

Quando x=y=1

(1,1,0,18), temos 20 situações.

Quando x=y=2

(2,2,0,16), temos 19 situações.

...............

...............

Quando x=y=10

(10,10,0,0), temos 1 situação.

S = 1 + 19 + 18 + ....... + 21

Logo: Sn = (a_1 + a_n)*n/2

Sn = (1 + 21)*11/2 = 22*11/2 = 121 situações em que x=y.

Solução: (1771-121)/2 = 1650/2 = 825

por **mauk03** 10/10/2013, 5:12 pm

Obrigado Paulo

por GustavoNr 10/3/2019, 3:57 pm

Olá !
Paulo, ao considerar que x=y não deveríamos retirar o dobro do valor x/y na equação? Por exemplo:
x=y=1
A equação fica: 1+1+z+w=20 <=> z+w=18
Assim teríamos 19!/18!= 19 soluções com x=y=1.
No seu caso deu 20 soluções, estou com uma questão parecida para resolver, mas não sei a forma certa. Você poderia me dar uma luz?

por **Mateus Meireles** 10/3/2019, 9:47 pm

Olá, Gustavo

Me metendo um pouco no tópico, de fato acredito que você esteja correto. Penso que o colega Paulo cometeu um pequeno deslize em alguns casos.

Para x = y = 1, temos, realmente, 19 soluções inteiras não negativas:

X Y Z W

1 1 0 18

1 1 1 17

1 1 2 16

...

1 1 17 1

1 1 18 0

Para x = y = 2, 17 soluções, etc.