Soluções inteiras da equação

Determine todas as soluções inteiras da equação: (3x + y) (x + y) = p, onde p é um número primo.

Resposta:
Se p = 2, o problema é impossível. Caso contrário, as soluções são:
(x, y) = {(p-1/2), (3-p/2)}
(x, y) = {(1-p/2), (3p-1/2)}
(x, y) = {(p-1/2), (1-3p/2)}
(x, y) = {(1-p/2), (p-3/2)}

Não sei nem por onde começar, a questão é do livro Álgebra I do professor Morgado.
Obs.: essa é o meu primeiro tópico, está tudo certo de acordo com o regulamento?

A postagem está bem feita, mas no lugar errado (Bate-Papo) vou movê-la para Álgebra.

Como p é primo e é produto de dois fatores um deles tem que ser p/-p e o outro tem que ser 1/-1 (Obviamente isso só vale se os fatores forem inteiros).
1º caso:
x+y = p  -->  x = -y+p
3x+y = 1  --> y = 1-3x
x = -1+3x+p
-2x = p-1
x = (1-p)/2 -->
y = 1-3(1-p)/2 = 1-3/2 + 3p/2 = -1/2 + 3p/2 = (3p-1)/2
x= (1-p)/2
y= (3p-1)/2

2º caso:
3x+y = p --> y=p-3x
x+y = 1 --> x= 1-y
y = p - 3(1-y)
y = p -3 + 3y
-2y = p-3
y = (3-p)/2
x = 1 - (3-p)/2
x = 1 + (p-3)/2 = (p-1)/2

3º caso:

3x+y = -1 --> y = -3x-1
x+y = -p --> x = -y-p
y= -3(-y-p)-1
y = 3y+3p -1
-2y = +3p-1
y = (1-3p)/2
x = -(1-3p/2)-p
x = (3p-1)/2 - p = (p-1)/2

4º caso:
3x+y = -p --> y = -p-3x
x+y = -1  -->  x = -1 -y
y = -p -3(-1-y)
y = -p +3+3y
-2y = 3-p
y = (p-3)/2
x = -1 -(p-3)/2 = (3-p)/2 - 2/2 = (1-p)/2

ótima resolução CarlosArguilar... O teorema a seguir pode ajudar.

 

Obrigado,consegui entender! excelente resolução.