Equação de uma parábola

Relembrando a primeira mensagem :

Olá pessoal. Estou com dúvida em um exercício sobre a equação de uma parábola no plano cartesiano:

Um determinado fio é constituído de um material que, quando preso a dois pontos distantes um do outro de 20m e ambos a 13m do solo, toma a forma de uma parábola, estando o ponto mais baixo do fio a 3m do solo. Determine a equação desta parábola, onde o eixo Oy contém o ponto mais baixo do fio e o eixo Ox está sobre o solo.

Eu resolvi a questão e cheguei no valor de

y = \frac{x^2}{12} + 3

Vou explicar passo a passo como cheguei a esse valor.

Primeiro, fiz por meio da propriedade da parábola de que qualquer ponto desta é equidistante do foco e da diretriz. Sendo a diretriz o eixo Ox (solo) e sendo um ponto qualquer (x; y) da parábola:

\sqrt{(6-y)^2 + (0-x)^2} = y-0

\sqrt{(6-y)^2 + x^2} = y

6^2 - 12y +y^2 + x^2 = y^2

6^2 - 12y + x^2 = 0

12y = 36 + x^2

Resposta final a que cheguei:

y = \frac{x^2}{12} + 3

Alguém pode me confirmar se errei algo e, em caso afirmativo, onde errei? Obrigado!

Resposta:

gente, por favor, e possivel baixar um arquivo com as questoes ja respondidas ? obrigado. nao sei bem como usar aqui. desculpe qlqr coisa.

pessoal, alguém saberia resolver essa questão ANALITICAMENTE falando, isto é, a partir de equações de parábola dentro de geometria analítica ? eu sei que é mais simples usando noções de função quadrática, mas é que essa questão tá no meu material de geom analítica e queria resolvê-la usando os conceitos dela, de analítica. obrigado

Johnny
não entendo sua dúvida. A resposta que dei lá em cima usa a forma canônica da eq. da parábola e isto é um conceito de geom. analítica. Por outro lado, a parábola é uma função quadrática e não tem como fugir deste fato.

Mas talvez resolva seu caso a seguinte ideia: você tem três pontos, V(0, 3) , A(-10, 13) e B(10, 13) e a equação geral de uma parábola y = a.x² + b.x + c. Monte três equações com os pontos sabidos e resolva o sistema para obter os valores de a, b e c.

Nem precisa de 3 equações, pois, pela figura do Medeiros, o valor de c = 3 já está determinado (para x = 0, y = 3)

Como a parábola tem o eixo y como eixo de simetria ---> b = 0

y = a.x² + 3

Par x = 10 ---> y = 13 ---> 13 = a.10² + 3 ---> a = 1/10 

y = x²/10 + 3

Então, MestreS, quando eu falei da resolução a partir de geometria analítica, eu me referia ao estudo da parábola dentro dessa matéria. Ou seja, por exemplo, no caso de termos uma parábola com eixo de simetria paralelo ao eixo y e com concavidade para cima, então a fórmula que usaríamos seria: (x - xo)² = 2p(y - yo), sendo xo e yo as coordenadas do vértice V da parábola, e p o parâmetro da parábola.
Ver o vértice V(0, 3) é fácil pois é dado no enunciado, o meu problema está em encontrar o parâmetro p. Tem como eu achar o foco F da parábola ? pra dar certo na fórmula acima, p = 5, mas como faço pra encontrá-lo ?


As resoluções dos senhores estariam dentro da matéria de função quadrática (do 2º grau) e não dentro de geom. analítica, entendem ?