Equação de uma parábola

Olá pessoal. Estou com dúvida em um exercício sobre a equação de uma parábola no plano cartesiano:

Um determinado fio é constituído de um material que, quando preso a dois pontos distantes um do outro de 20m e ambos a 13m do solo, toma a forma de uma parábola, estando o ponto mais baixo do fio a 3m do solo. Determine a equação desta parábola, onde o eixo Oy contém o ponto mais baixo do fio e o eixo Ox está sobre o solo.

Eu resolvi a questão e cheguei no valor de

y = \frac{x^2}{12} + 3

Vou explicar passo a passo como cheguei a esse valor.

Primeiro, fiz por meio da propriedade da parábola de que qualquer ponto desta é equidistante do foco e da diretriz. Sendo a diretriz o eixo Ox (solo) e sendo um ponto qualquer (x; y) da parábola:

\sqrt{(6-y)^2 + (0-x)^2} = y-0

\sqrt{(6-y)^2 + x^2} = y

6^2 - 12y +y^2 + x^2 = y^2

6^2 - 12y + x^2 = 0

12y = 36 + x^2

Resposta final a que cheguei:

y = \frac{x^2}{12} + 3

Alguém pode me confirmar se errei algo e, em caso afirmativo, onde errei? Obrigado!

Resposta:

Vou te falar como eu fiz, pois não conheço esse seu modelo de resolução

Talvez eu consiga te dar uma luz
Eu acho esse meu jeito de fazer até um pouco bobo e mais trabalhoso, mas não costuma ter erro

sabemos c vale 3
sabemos que em  -10 e 10 a função valerá 13
sendo assim:

ax² + bx + c = 0

a.(-10)² - b10 + 3 = 13
a(10)² + b10 + 3 = 13

100a -10b = 10
100a +10b= 10

200a=20
a=10/100= a= 1/10

b=0

Espero que te ajude de alguma forma!

Olá! Ajuda sim, Monica. Obrigado!
Fiquei meio confuso com algumas coisas da geometria analítica, as vezes errei algo na elaboração da questão.

Oi, José!

imagina!

Enfim, não sei sobre o assunto, comecei a ler agora
mas será que seu erro não foi considerar a diretriz no eixo x?
Pois, pelo o que vi ao analisar a equação pronta, o foco precisa ser 5, não precisa?

x²=2py
x²/10=y
x²=10y
p= 5

Desculpe se estou falando bobagem, é a primeira vez que vejo isso

edit: pode ignorar as bobagens que estou falando, eu fiquei interessa em aprender, mas pelo visto eu não entendi direito e como não te ajudei na resposta anterior, fiquei me sentindo mal e achei que lendo eu conseguiria te ajudar, pobre de mim HAHAH

A Mônica está certa no questionamento e não entendo porquê você achou que o foco e a diretriz eram aqueles.

foco --------> F(0, 11/2)
diretriz ----> y = 1/2
com estes valores a sua mecânica de resolução dá certo.

um outro modo, até mais fácil, é usar a forma canônica da equação da parábola pois conhecemos o vértice e um ponto dela. Segue execução:

nem acredito que eu entendi certo então hahaha, ganhei meu dia!


obrigada, Medeiros! 

Vou ler mais sobre o assunto, mas acho muito difícil cair nas provas que eu presto (amém!)

Interpretei o foco como sendo p em relação ao eixo Ox, em que p = parâmetro. Fiz o mesmo esboço que o Medeiros fez na resolução pela forma canônica, mas errei em considerar p/2 = 3, que é a distância até o vértice da corda. Pode me mostrar como chegou até esses valores de vértice e foco, por favor?

Achei meu erro. Por algum motivo estava considerando a diretriz já preestabelecida pelo exercício, mas é preciso calcular o foco p/ encontrá-la.

sim, foi o que eu disse ali em cima, se seu erro não teria sido considerar a diretriz no eixo x hehehe

Obrigado galeraaa <3