inequação fracionária

por JohnnyC Ter 15 Jan 2019, 20:07

Resolva, em R, a inequação (3x - 1)/(2 - x) > 0

R: 1/3 < x < 2

Galera, há muitos anos não estudo esse conteúdo de fundamental, mas apareceu no meu material e não gostaria de deixar em branco. Eu supus o seguinte: pra dar resultado > 0, teríamos 2 possibilidades:
1º: numerador e denominador > 0
2º: numerador e denominador < 0

Fazendo o 1º caso, temos: x > 1/3 e x < 2
Fazendo o 2º caso, temos x < 1/3 e x > 2

Como resolvo ? Obrigado.

por **Emanoel Mendonça** Ter 15 Jan 2019, 20:20

Boa noite

Para que (3x - 1)/(2 - x) > 0

O numerador e o denominador tem que ser > 0

3x-1 > 0 ---> x > 1/3
2-x > 0 --> x < 2

Representando esses intervalos na reta numérica:

------------- ⁰ 2 __________
----₀(1/3)_____________

Devemos pegar a intersecção desses intervalos, pois como disse a condição tem que ser satisfeita para o numerador e o denominador;

_________ ₀(1/3)------------₀2_________

1/3 < x < 2

por JohnnyC Ter 15 Jan 2019, 20:27

Emanoel, agradeço pela ajuda. Assim, de início eu fiz isso, exatamente como você resolveu. Porém, se tivermos denominadores e numeradores < 0 também conseguiremos valores positivos. Ex: -8/-4 = 2 > 0.
Compreende o que digo ? Por que não devemos fazer também o 2º caso, isto é, com numerador e denominador negativos ?

por **Emanoel Mendonça** Ter 15 Jan 2019, 20:50

JohnnyC escreveu:Emanoel, agradeço pela ajuda. Assim, de início eu fiz isso, exatamente como você resolveu. Porém, se tivermos denominadores e numeradores < 0 também conseguiremos valores positivos. Ex: -8/-4 = 2 > 0.
Compreende o que digo ? Por que não devemos fazer também o 2º caso, isto é, com numerador e denominador negativos ?

Me desculpe se fiz o que você já tinha feito.
Entendo sua dúvida, vamos tentar sana-la. Veja, pelo o exemplo que você deu, para que o numerador seja -8, o valor de x tem que ser:

3x-1 = -8 --> x = -7/3

Esse valor de "x", é substituido no numerador e no denominador, se fizermos isso:

-8 / (2 - (-7/3)) > 0 ---> -8 / (13/3) > 0 --> -24 /13 > 0 (Absurdo)

Então em resumo, se o valor de x for negativo, ou mais precisamente se fo menor que (1/3), não há como o resultado dar positivo.

Se ainda não ficou claro, comenta mais por favor.