Esfera e cilindro

por waydzik Seg 03 Dez 2018, 13:14

Coloca-se uma esfera de raio r no interior de um recipiente com formato de um cilindro circular reto com raio da da base R. Em seguida, preenche-se o recipiente com agua ate que a esfera fique exatamente coberta por agua, ou seja, a esfera tangencia a superficie da agua. Retira-se,entao, a esfera e eh observado que o nivel de agua eh reduzido em 1/4. O valor da razao r/R eh igual a:

R= raiz de 3/2.raiz de dois

por **Elcioschin** Seg 03 Dez 2018, 14:24

1) Com a esfera dentro a altura da água vale H = 2.r

Va = Volume só da água --->

Va= Vc - Ve --> Va= pi.R².H - (4/3).pi.r³ --> Va = 2.pi.R².r - (4/3).pi.r³ --> I

2) Retirando a esfera --> h = (3/4).H --> h = (3/4).2.r --> h = 3.r/2 --> II

Volume de água ---> Va = pi.R².h --> Va = pi.R².(3.r/2) -->
Va = (3/2).pi.R².r --> II

II = I ---> (3/2).pi.R².r = 2.pi.R².r - (4/3).pi.r³ --->

(4/3).pi.r³ = 2.pi.R².r - (3/2).pi.R².r --> (4/3).pi.r³ = (1/2).pi.R².r --> : pi.r

(4/3).r² = R²/2 ---> r²/R² = 3/8 ---> r/R = √3/2.√2

por jopagliarin Dom 20 Jun 2021, 14:01

Elcioschin escreveu:1) Com a esfera dentro a altura da água vale H = 2.r

Va = Volume da água --->

Va = Vc - Ve ---> Va = pi.R².H - (4/3).pi.r³ ---> Va = 2.pi.R².r - (4/3).pi.r³ ---> I

2) Retirando a esfera ---> h = (3/4).H ---> h = (3/4).2.r ---> h = 3.r/2 ---> II

Novo volume de água ---> V'a = pi.r².h ---> V'a = (3/2).pi.r³

V'a = Va - Ve ---> (3/2).pi.r³ = (2.pi.R².r - (4/3).pi.r³) - (4/3).pi.r³

Complete e calcule r/R

Ali em "Novo volume de água ---> V'a = pi.r².h ---> V'a = (3/2).pi.r³", tu usou o "r" ao invés de "R"... parece que embaralhou os raios. Por que não é: V'a = pi.R².h ? "r" não é o raio da esfera?

por **Elcioschin** Dom 20 Jun 2021, 14:15

Corretíssima: eu digitei errado errado r em vez do correto: R
Já editei minha solução. Obrigado pelo alerta!

por jopagliarin Seg 21 Jun 2021, 08:06

Olá, já fiz a questão várias vezes e não consigo sair disso.

V'a = Va - Ve ---> (3/2).pi.R².r = (2.pi.R².r - (4/3).pi.r³) - (4/3).pi.r³

(3/2).pi.R².r = 2.pi.R².r - (8/3).pi.r³
-pi.R².r = - (8/3).pi.r³
(1/2)R² = (8/3)r²
..
3R² = 16r²
r/R = √3/4