Adivinhar o número

Um mágico pediu para uma pessoa da plateia escolher um número natural qualquer e deu as seguintes instruções:

• Multiplicar o número escolhido por 2.
• Somar 3 ao resultado.
• Multiplicar por 5 o resultado.
• Subtrair do resultado o número escolhido.
• Escolher um dos dígitos diferentes de zero do número obtido e escrevê-lo em um papel, de modo que o mágico não visse.
• Falar os demais dígitos em qualquer ordem.

A pessoa disse: “1, 0, 2, 2 e 3” e o mágico pôde constatar que o dígito escrito no papel era
(A) 3.
(B) 7.
(C) 1.
(D) 9.
(E) 5.

Seja o número pensado x.
Após as operações: (2x+3)*5 - x
Resultado: 9x + 15
Todo número multiplicado por 9 resulta em um número cuja soma dos dígitos é 9.

Logo a soma dos dígitos deve ser 6 visto que no 9 a contagem se reinicia. Por exemplo, 9+5=5 (pensando na soma dos dígitos).
Como a soma deve ser 6 e a soma dos dígitos mencionados é 8, precisamos somar 7 para que a soma seja 6.

PedroX escreveu:

Logo a soma dos dígitos deve ser 6 visto que no 9 a contagem se reinicia. Por exemplo, 9+5=5 (pensando na soma dos dígitos).
Como a soma deve ser 6 e a soma dos dígitos mencionados é 8, precisamos somar 7 para que a soma seja 6.

Não entendi :///
Se não for incômodo, tem como explicar essa parte mais detalhada, ou de outra forma?

O mágico sabe que o número é da forma 9x+15, em que x é o número pensado.

Porém, repare na soma dos dígitos dos números. Vou começar pelo 10 porque para os anteriores são eles próprios:

10 -> 1
11 -> 2
12 -> 3
13 -> 4
....

Note que todo numero múltiplo de 9 tem soma dos dígitos igual a 9. Exemplo: 26*9=234 (cuja soma dos dígitos é 9)

Se o número é da forma 9x + 15, então ele é também igual a 9x + 9 + 6.
Como 9x é múltiplo de 9 e está sendo somado com 9, teremos até aí um novo múltiplo de 9 que será somado com 6. Assim, 6 será a soma dos dígitos desse número.

Exemplo:

Pensou em 18. O resultado 9x+15 = 177
Note que 177 é igual a 9*18 + 9 + 6 = 171 + 6

Repare que o 171 tem soma dos dígitos igual a 9, confirmando o que havíamos previsto.

172 terá soma igual a 1, 173 terá soma igual a 2 e assim por diante. A contagem reiniciou em 171 porque ele é múltiplo de 9.

De acordo com isso, sabemos que a soma será 6.

Temos, pela previsão, que a soma dos dígitos de 1+0+2+2+3+a é igual a 6.

Daí, somando 8+a e sabendo que a contagem reinicia em 9, sabemos que o dígito é 7; assim teremos soma 15 que resulta em 6.