Circunferência

Os pontos V e T são de tangência e R=4r. calcule a medida do arco EI.

a)37°
b)45°
c)53°
d)60°
e)127°/2
r:a

Olá ,
Inicialmente adotando o centro da circunferência maior como sendo O1 e o da circunferência menor O2.
Perceba que a distância de O1 até O2 é 5r , passando por T.
Ligando O1 a V , a reta suporte do segmento O1V é perpendicular a reta suporte do segmento VO2 , pois esta é tangente à maior circunferência.
Então por Pitágoras no triângulo VO1O2 , podemos determinar o cateto VO2 , teremos :

(O1O2)^2=(O1V)^2+(VO2)^2
25.r^2=16.r^2+(VO2)^2
Portanto 
(VO2)=3r.

Agora vamos observar o triângulo VO1E , por Pitágoras podemos determinar o segmento O1E , já que VE sabemos que é 3r-r, ou seja , 2r.

(O1E)^2=(VE)^2+(O1V)^2
(O1E)^2=16.r^2+4.r^2
(O1E)=2.V5.r

Analisando agora o triângulo O1EO2 , e por lei dos cossenos podemos determinar o cosseno do ângulo do vértice E.
Portanto :

25.r^2=20.r^2+r^2-4.V5.r^2.cos(E)

cós(E)=-(V5/5)

Agora vamos analisar o triângulo O2EI.
Observe que dois lados desse triângulo são o próprio raio da circunferência menor , então este triângulo é isosceles.

Definindo estes ângulos como sendo 'alfa,beta,beta' , vemos que beta=π-E 
Aplicamos cosseno dos dois lados , logo :

cós(beta)=cós(π-E)
cós(beta)=-cos(E)
cós(beta)=V5/5 (I)

A soma dos ângulos internos de um triângulo somam π , logo , alfa+2beta=π

alfa=π-2.beta

Aplicando cosseno dos dois lados :

cós(alfa)=cós(π-2beta)
cós(alfa)=-cos(2.beta)
cós(alfa)=-[2cos^2(beta)-1]

Pela equação (I) , teremos então :

cós(alfa)=-[2.(5/25)-1]
cós(alfa)=-[-15/25]
cós(alfa)=3/5.

Alfa portanto , é igual a 53°

Aproveitando a bela solução do colega Matheus, eis um outro modo de calcular cosβ:

O1O2 = 5.r ---> O1V = 4.r ---> VO2 = 3.r ---> VE = 2.r ---> EO2 = r

IÊO2 = β ----> VÊO1 = IÊO2 (opv) ---> VÊO1 = β

cos(VÊO1) = VE/EO1 ---> cosβ = 2.r/2.r.V5 ---> cosβ = V5/5

Seja O o centro da circunferência maior e seja O' o centro da circunferência menor. 


Tome M ponto médio da corda EI.

Sabemos que, ligando O' ao ponto M, temos um ângulo reto entre O'M e EI. Assim, perceba que o quadrilátero OVMO' é ciclico já que temos 2 ângulos de 90° olhando para o mesmo segmento .


Com isso, com um arrastão, o ângulo EO'M é igual ao EOV

Fazendo 1 teorema de Pitágoras, temos que VE é igual a 2r.
Assim, a tangente do ângulo EOV é 1/2

O ângulo que a gente quer é o dobro do ângulo EO'M já que M é medio de uma corda.


Fazendo tangente do arco duplo, temos que EOI é arctg(4/3) = 53°

Segue a imagem do Geogebra para ter certeza que o gabarito está errado, 

Eu errei ali , cós(alfa)=3/5
Então alfa=53°
Induzido ao erro kkkk
Já que o renanzin provou aí , tá provado.

Matheus

Já editei sua solução, substituindo 37º por 53º.

Outro modo

Boa noite, Raimundo.

usando a simbologia já empregada pelo Mateus (que primeiro resolveu a questão), sobre a sua resposta pergunto o que nos garante que o ângulo EO2I é igual ao ângulo EO2T ?

XX

amigo, distração em conta, 53,...*3 = 160