funções segundo grau

Dada a função f:R-->R, definida por f(x)=|x²-6x+5|, existe um único número y0 tal que para exatamente três números x1,x2,x3 verifica-se a relação f(x1)=f(x2)=f(x3)=y0.Nestas condições o valor da soma x1 + x2 + x3 é

a)6
b)7
c)8
d)9

Primeiramente desenhe a função y = x² - 6x + 5

Para y = 0 ----> x = 1 ou x = 5

É uma parábola cortando o eixo Y no ponto A(0, 5), com raízes x' = 1 e x" = 5.

Vértice da parábola ----> xV = - b/2a ----> xV = - (-6)2*1 ----> xV = 3 ----> yV = - 4 ----> V(3, -4)

Queremos o MÓDULO desta função. Para isto basta inverter a parte da parábola abaixo do eixo X para cima. Neste caso o vértice passa a ser V'(3, 4)

O único valor de y (yo) que corta a parábola EXATAMENTE 3 vezes é yo = 4. Esta reta passa pelo vértice V' e corta a função em 3 pontos. Neste caso x2 = 3

Para y = yo = 4 -----> y = x² - 6x + 5 ----> 4 = x² - 6x + 5 ----> x² - 6x + 1 = 0

Discriminante ----> D

Raízes: x1 = (6 + VD)/2 , x3 = (6 - VD)/2

x1 + x2 + x3 = (6 + VD)/2 + 3 + (6 - VD)/2 ----> x1 + x2 + x3 = 9

Élcio,
Só por curiosidade, se eu derivasse a equação dada, iríamos achar 2x - 6 certo ?
Se 2x - 6 = 0, então, x = 3

logo, 5 + 1 + 3 = 9

Isso foi coincidência ?

Luis

Não é coincidência não.

Derivando a função do 2º grau (parábola), obtém-se uma nova função.

Esta nova função é denominada "função derivada" ou simplesmente "derivada".

A equação da função derivada representa o VALOR do coeficiente angular de QUALQUER reta tangente à parábola, em qualquer ponto da mesma.

Quando se iguala a derivada a zero, significa dizer que a reta tangente é paralela ao eixo X. Isto ocorre SOMENTE no vértice da parábola.

y = x² - 6x + 5 ----> y' = 2x - 6 ----> ----> y' = 0 ----> x = 3

Logo V(3, 4) é o vértice da parábola.

Interessante Élcio. Agora, se não for pedir muito, o senhor poderia me explicar brevemente o que acontece com uma função quando eu a derivo ?

Eu sei como derivar, mas não sei o que ela faz com as funções, para conseguir resolver problemas como esse.
Abraço.

É muito simples.

Vamos ver a função y = x² - 8x + 12

Parábola com a concavidade voltada para cima (a = 1), raízes 2 e 6 e vértice V(4, -4)

Vamos escolher um ponto qualquer desta função: por exemplo o ponto A(5, -3)

A derivada é y' = 2x - 8

1) Qual é a equação da reta r tangente à parábola no ponto A ?

y' = 2*xA - 8 ----> y' = 2*5 - 8 ----> y' = 2 ----> coeficiente angular da reta r.

Equação da reta r: y - yA = y'(x - xA)----> y - (-3) = 2*(x - 5) ----> y = 2x - 13


2) Idem para a reta s tangente à parábola no ponto V(4, -4)

y' = 2*xV - 8 ----> y' = 2*4 - 8 ----> y' = 0 ----> coeficiente angular da reta s.

Equação da reta s: y - yV = y'*(x - xV) ----> y - (-4) = 0*x - 4) ----> y = - 4

Neste caso o resultado é óbvio: no vértice a reta tangente s é paralela a o eixo X