[Dica] Facilitando o cálculo de potências

Considere o seguinte problema, extraído da edição de 2009 da Olimpíada Paulista de Física:

Enunciado:

Introdução ao problema:

Esse é o verdadeiro desafio do exercício: como calcular 310⁴ - 293⁴ "na mão"? Para isso, é necessário apenas o conhecimento dos produtos notáveis, usando álgebra elementar.

a⁴ - b⁴ = (a²+b²)(a²-b²) [soma e diferença I]
a⁴ - b⁴ = (a²+b²)(a+b)(a-b) [soma e diferença II]
...
(a-b)² = a² + b² - 2ab; a² + b² = (a-b)² + 2ab [produto notável da diferença//certamente será mais fácil de calcular (T1-T2)² em relação a (T1+T2)²]
...
a⁴ - b⁴ = ((a-b)² + 2ab)(a+b)(a-b)

Substituindo:
310⁴ - 293⁴ = ((310-293)² + 2.310.293)(310+293)(310-293)
310⁴ - 293⁴ = (17² + 2.310.293)(603)(17)

Simplificando ainda mais os cálculos, enfatize 2.310.293
2.310.293 = 2.10⁴.(3,1).(2,93) = 2.10⁴(3+0,1)(3-0,07) = 2.10⁴(9+0,09-0,007) ≈ 2.10⁴.9,09 [0,007 é desprezível]
2.310.293 ≈ 1,82.10⁵

Logo:
310⁴ - 293⁴ = (1,82 + 0,00289).10⁵.6,03.10².17 = 1,856.10⁹

Usando uma calculadora para tirar 310⁴ - 293⁴, obtém-se 1,852.10⁹. Ou seja, foi uma aproximação bem precisa do valor verdadeiro, obtida facilmente apenas com lápis e papel.

Agora o exercício já está resolvido, pois Q = -0,9.1,5.5,6696.10⁻⁸.1,886.10⁹.600, ou aproximadamente -86,6 kJ, mas esse não era o foco do tópico.

Espero que isso seja útil, já que temas assim podem sempre estar presentes (potencialmente te livrando de uma grande frustração)