Qual a taxa de juros efetiva cobrada?

por Luiz 2017 Ter 23 Jan 2018, 22:26

Um equipamento industrial cujo valor à vista é $ 1.161.838,74 pode ser comprado a prazo. Neste caso, paga-se uma entrada de $ 50.000,00 mais 15 prestações mensais consecutivas no valor de $ 100.000,00 cada, com a primeira um mês depois da compra. A taxa de juros efetiva composta cobrada no financiamento é:

a) 2,5% a.m.
b) 3,0% a.m.
c) 3,5% a.m.
d) 4,0% a.m.
e) 5,0% a.m.

por Luiz 2017 Qui 25 Jan 2018, 00:09

Luiz 2017 escreveu:Um equipamento industrial cujo valor à vista é $ 1.161.838,74 pode ser comprado a prazo. Neste caso, paga-se uma entrada de $ 50.000,00 mais 15 prestações mensais consecutivas no valor de $ 100.000,00 cada, com a primeira um mês depois da compra. A taxa de juros efetiva composta cobrada no financiamento é:

a) 2,5% a.m.
b) 3,0% a.m.
c) 3,5% a.m.
d) 4,0% a.m.
e) 5,0% a.m.

Resposta:

Será resolvido por 4 métodos distintos a fim de que sua compreensão possa ter amplo alcance entre os usuários do fórum.

1- Resolvendo pela equação aproximada de M:

(já mostrada aqui https://pir2.forumeiros.com/t134132-formulas-para-calculo-da-taxa-de-juros#469870 )

i = \frac {8(n-PV/PMT)} {(n+1)(3\cdot PV/PMT+n)}

onde:

n = 15 meses
PV = 1.161.838,74 - 50.000,00 = 1.111.838,74
PMT = 100.000,00
i = ?

Substituindo valores:

i = \frac {8(15-1111838,74/100000)}{(15+1)(3\times 1111838,74/100000+15)}

i = 0,0401365

\boxed{i \approx 4\% }

2 - Resolvendo pelo método de Newton:

(já mostrado aqui https://pir2.forumeiros.com/t143415-calculo-da-taxa-com-o-metodo-de-newton?highlight=c%C3%A1lculo )

Valor presente de série uniforme postecipada

PV = PMT \cdot \frac {1-(1+i)^{-n}}{i}

onde:

PV = 1.161.838,74 - 50.000,00 = 1.111.838,74
n = 15
PMT = 100.000,00
i = ?

Substituindo valores:

1111838,74 = 100000 \cdot \frac {1-(1+i)^{-15}}{i}

\frac{1111838,74}{100000} = \frac {1-(1+i)^{-15}}{i}

11,1183874 \cdot i = 1-(1+i)^{-15}

(1+i)^{-15} + 11,1183874 \cdot i - 1 = 0

Portanto:

f(i) = (1+i)^{-15} + 11,1183874 \cdot i - 1

i_1 = i_0 - \frac{f(i_0)}{f'(i_0)}

i_0 = \frac{PMT}{PV} - \frac{PV}{PMT \cdot n^2} = \frac{100000}{1111838,74} - \frac{1111838,74}{100000 \cdot 15^2} \approx 0,040526

1^a\;iteracao:i_0 = 0,040526000000 => i_1 = 0,040000222623
2^a\;iteracao:i_0 = 0,040000222623 => i_1 = 0,040000174194

i \approx 0,040000174194

\boxed{i \approx 4\% }

3- Resolvendo pelo Wolfram-Alpha:

(disponível aqui http://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+(1%2Bx)%5E(-15)%2B11.1183874x-1%3D0 )

\boxed{i \approx 4\% }

4) Resolvendo também pela HP-12C:

(emulador disponível aqui: https://epxx.co/ctb/hp12c.html )

\boxed{f}\;\boxed{FIN}
15 \;\boxed{n}
1111838,74 \;\boxed{CHS}\;\boxed{PV}
100000 \;\boxed{PMT}
\boxed{i}\;\Rightarrow\;4,00000004

\boxed{i \approx 4\%\;a.m.}

Resposta: (d)

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Qual a taxa de juros efetiva cobrada?

Re: Qual a taxa de juros efetiva cobrada?

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