Quanto deveria pagar?

Um comerciante tomou um empréstimo e ficou de quitá-lo em 10 prestações bimestrais de $ 10.000,00 cada, sendo os juros contados na base de 5% a.b. Depois de haver pago a 6ª prestação, o comerciante fez maus negócios e ficou impossibilitado de saldar as prestações restantes. Sabendo-se que o empréstimo foi feito há 2 anos e 8 meses, quanto o comerciante deveria pagar hoje para ficar em dia com seu credor?

Boa noite!

Dados:
n = 10 bimestralidades
PMT = $ 10.000
i = 5% a.b.
Mas pagou somente 6...

Calculando o saldo devedor 'imediatamente' após o pagamento da 6ª parcela. Como eram originalmente 10 prestações, faltam ainda 4. Então, calculando-se o valor das 4 restantes:
\\\displaystyle{SD_k=PMT\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+i\right)^{-(n-k)}}{i}\right]}\\\\\displaystyle{SD_6=10\,000\cdot\left[\dfrac{1-\left(1+5\%\right)^{-(10-6)}}{5\%}\right]}\\\\\displaystyle{SD_6=10\,000\cdot\left(\dfrac{1-1,05^{-4}}{0,05}\right)}\\\\\displaystyle{\boxed{SD_6\approx 35\,459,51}}

Este valor terá que ser pago 2 anos e 8 meses após ter feito o empréstimo. Como os períodos estão em bimestres (pela taxa ser bimestral), teremos:
\\2\text{ anos}\cdot 6+\dfrac{8\text{ meses}}{2}=12+4=16\text{ bimestres}

Mas já pagou por 6 bimestres, então, o total de períodos que faltam para atualizar a dívida:
\\n=16-6=10

Atualizando o saldo devedor para o período 16, então:
\\\displaystyle{SD_{\text{corrigido}}=SD_6\cdot(1+5\%)^{10}}\\\\\displaystyle{SD_{\text{corrigido}}=35\,459,51\cdot 1,05^{10}}\\\\\displaystyle{\boxed{SD_{\text{corrigido}}\approx 57\,759,80}}

Espero ter ajudado!

Baltuilhe, seu resultado está correto, porém usei uma forma mais simples:


1) Montante das prestações não pagas ao final do prazo:

Equação geral do valor futuro de série uniforme postecipada:

FV_1 = PMT \cdot \frac {(1+i)^n - 1}{i}

onde:

PMT = 10000
n = 4 bimestres sem pagar
i = 5% a.b.

Substituindo valores:

FV_1 = 10000 \cdot \frac {(1+0,05)^4 - 1}{0,05}

FV_1 = 10000 \times 4,310125

FV_1 = 43.101,25


2) Cálculo do pagamento do montante não pago, a ser feito hoje:

Equação do valor futuro a ser pago de uma só vez:

FV_2 = PV \cdot (1+i)^{n}

onde:

n = 2anos8meses - 10bimestres = 6 bimestres
i = 5% a.b.
PV = FV₁ = 43.101,25

Substituindo valores:

FV_2 = 43101,25 \cdot (1+0,05)^{6}

FV_2 = 43101,25 \times 1,340095641

FV_2 = 57759,79723

\boxed{FV_2 \approx \$\;57.759,80}

Luiz,

Só mudamos a data focal de referência. Tomei o momento em que ele 'parou de pagar' e atualizei este valor. Você 'atualizou' os valores ainda a serem pagos para o final do financiamento, e atualizou para a data 'atual'. Mesmas ideias, datas focais diferentes.

Abraços!