Enem2011 Azul Q54 - Densidades de ligas

por fmhenrique Ter 08 Out 2013, 18:57

Olá a todos,

Gostaria de tirar uma dúvida sobre a questão 54 do caderno azul do ENEM 2011. É uma questão sobre calcular a densidade de uma liga metálica de estanho e chumbo.

Certas ligas estanho-chumbo com composição específica formam um eutético simples, o que significa que uma liga com essas características se comporta como uma substância pura, com um ponto de fusão definido, no caso 183ºC. Essa é uma temperatura inferior mesmo ao ponto de fusão dos metais que compõe esta liga (o estanho puro Enem2011 Azul Q54 - Densidades de ligas Mw5k

Enem2011 Azul Q54 - Densidades de ligas Mw5k

funde a 232ºC e o chumbo puro a 320ºC), o que justifica sua ampla utilização na soldagem de componentes eletrônicos, em que o excesso de aquecimento deve sempre ser evitado. De acordo com as normas internacionais, os valores mínimo e máximo das densidades para essas ligas são de 8,74 g/mL e 8,82 g/mL, respectivamente. As densidades do estanho e do chumbo são 7,3 g/mL e 11,3 g/mL, respectivamente.
Um lote contendo 5 amostras de solda estanho-chumbo foi analisado por um técnico, por meio da determinação de sua composição percentual em massa, cujos resultados estão mostrados no quadro a seguir.

Amostra	Porcentagem de Sn (%)	Porcentagem de Pb (%)
I	60	40
II	62	38
III	65	35
IV	63	37
V	59	41

Com base no texto e na análise realizada pelo técnico, as amostras que atendem às normas internacionais são
A) I e II.
B) I e III.
C) II e IV.
D) III e V.
E) IV e V.

Pesquisando na Internet, você encontra várias páginas resolvendo essa questão usando médias ponderadas, sendo a proporção de cada metal na massa da liga como peso. Só que, na minha opinião, você só poderia usar médias ponderadas nessa questão se as porcentagens do estanho e do chumbo nas ligas fossem dadas em termos do volume. Como a questão deu os percentuais em termos da massa, eu acho que a conta é outra.
Eu faria o cálculo da densidade da amostra I, por exemplo, imaginando um pedaço de 100 gramas dessa amostra.
Massa total da liga: 100 gramas
Massa do estanho da liga: 60 gramas
Massa do chumbo da liga: 40 gramas
--
Calculando o volume do estanho:
Volume do estanho = massa do estanho / densidade do estanho = 60 / 7,3
Volume do estanho = 8,22 mL
--
Calculando o volume do chumbo:
Volume do chumbo = massa do chumbo / densidade do chumbo = 40 / 11,3
Volume do chumbo = 3,54 mL
--
Se 60 gramas de estanho ocupam 8,22 mL e 40 gramas de chumbo ocupam 3,54 mL, então um pedaço da liga formada por eles ocupa 11,76 mL. Como essa liga tem 100 gramas, a densidade vai ser:
Densidade = massa / Volume = 100 / 11,76 = 8,5 g/mL

No final das contas, a fórmula utilizada seria:

Código:: \bar{\mu} = \frac{100 \times \mu_{Sn} \times \mu_{Pb}}{\%_{Sn} \times \mu_{Pb} + \%_{Pb} \times \mu_{Sn}}

Não posso postar a imagem do latex aqui, mas o código é esse aí.

O único lugar em que eu encontrei esse raciocício em português foi nesse fórum, em mensagens do usuário Euclides. Como meu usuário nesse fórum é novo, não posso colocar links.
Em inglês, eu encontrei uma página que inclusive usa como exemplo uma amostra igual à amostra I do exercício e chega no mesmo número que eu.
E tem uma página com um calculador de densidade. Você coloca a massa de cada componente e a densidade deles e aí ela calcula a densidade da liga. Se você colocar os dados do exercício, também chega em 8,5 g/mL

Enfim, eu não consigo ver nenhum erro nesse meu cálculo, que é diferente do gabarito oficial. Usando médias ponderadas, você vai chegar nas densidades:
I - 8,9 g/mL
II - 8,82 g/mL
III - 7 g/mL
IV - 8,78 g/mL
V - 8,94 g/mL
A resposta oficial é C.

Como essa questão não foi anulada e não encontrei nenhuma reclamação sobre ela, fico achando que tem algo de errado no meu raciocício ou nas contas.
Alguém pode me ajudar nisso?

Abraços,
Henrique

por **Euclides** Ter 08 Out 2013, 19:53

Eis como eu faria (tomando como exemplo a amostra I):

$\\Sn\to 0,6m\;\;\to\;\;V_{Sn}=\frac{0,6m}{7,3}\\Pb\to 0,4m\;\;\to\;\;V_{Pb}=\frac{0,4m}{11,3}\\\\\\\boxed{\mu=\frac{m}{V}}\;\Rightarrow \;\mu=\frac{0,6m+0,4m}{\frac{0,6m}{7,3}+\frac{0,4m}{11,3}} \;\;\to\;\;\mu=\frac{1}{\frac{0,6}{7,3}+\frac{0,4}{11,3}}$

$\\\mu=\frac{7,3\times 11,3}{0,6\times 11,3+0,4\times 7,3}=\frac{82,49}{9,7}\;\;\to\;\;\mu=8,5\;g/ml$

no mesmo raciocínio os resultados seriam:

$I-8,50\;\;\;\;\;II-8,43\;\;\;\;\;III-8,33\;\;\;\;\;IV-8,40\;\;\;\;\;V-8,54$

por aspmotta Seg 27 Jun 2016, 11:51

Realmente, na minha opinião a questão deveria ser anulada, não entendo porque não foi.

Coincido na resolução proposta, parece-me evidente que assim seja...

Abs!

por joaoop Sex 27 Out 2017, 16:32

Resolvi dessa forma também.
Acho que a questão deveria ter sido anulada.

por matheuscrj16 Qua 28 Fev 2018, 21:07

Que alívio, criei há 2 dias um tópico aqui, falando exatamente dessa questão; e em como todos que vi na internet resolveram por média ponderada aritmética ~enquanto pra mim isso seria algo completamente sem sentido.
Achei estranho não responderem meu tópico até hoje, quando fui jogar a questão no google me deparei com esse tópico, já criado há tantos anos!
Estou apagando o tópico que fiz e colocando também o ponto de vista que abordei.

Em vários sites/videos da internet, vejo as pessoas resolvendo essa questão da mesma forma: tirando a média ponderada.
Porém, no meu ponto de vista essa resolução está incorreta, já que a questão nos dá o percentual em MASSA - não em volume! (Ou seja, usando a média harmônica!)

Resolução:
Dados:

Msn = Massa do Estanho
Mpb = Massa do Chumbo
Mt = Massa Total
Dpb / Dsn = Densidade
Vpb / Vsn = Volume
%Sn / %Pb = Porcentagem em massa

Dfinal = (Msn + Mpb) / (Vsn + Vpb)

Sendo:
- Msn + Mpb = Mt
- Msn = %Sn . Mt
- Mpb = %Pb . Mt
- V = m/D

Então:
Dfinal = (Msn + Mpb) / (Vsn + Vpb)

Dfinal = Mt / (Msn/Dsn + Mpb/Dpb)
Dfinal = Mt / [ (%Sn . Mt / Dsn) + (%Pb . Mt/ Dpb) ] ; MMC no denominador

Dfinal = Mt / [ (%Sn . Mt . Dpb) + (%Pb . Mt . Dsn) ] / Dsn . Dpb ; Invertendo:

Dfinal = Mt. (Dsn . Dpb) / Mt . (%Pb.Dsn + %Sn. Dpb)

Dfinal = Dsn.Dpb / %Pb.Dsn + %Sn. Dpb

Essa resposta combina com a média harmônica! (substitua 50% para confirmar) A resolução que vejo nos vídeos do YT e até nos sites, faz uma ponderada, que acredito que só seria possível se a questão desse a porcentagem em volume! Mas ela o fez em massa...

A outra forma que resolvi a questão, foi encontrar o intervalo de variação das porcentagens admitidas de Pb e Sn, para só depois olhar a tabela.