Equação geral do plano.

por **Willian Honorio** Qui 11 Jan 2018, 23:43

Determine a equação geral do plano que contém a reta
$(r):\left\{\begin{matrix} x=2+t & & \\ y=1-t & & \\ z=3+2t & & \end{matrix}\right.$

e é perpendicular ao plano $\pi :2x+2y-3z=0$

Resposta: x-7y-4z+17=0

Pessoal, inicialmente fiz o produto escalar do vetor normal do plano procurado pelo vetor diretor da reta r e pelo vetor normal do plano pi, achando assim um sistema 2x3. Precisaria de mais uma equação, o que estou com dificuldades em obter.

por **Baltuilhe** Sex 12 Jan 2018, 01:21

Boa noite!

Se o plano contém a reta e é perpendicular ao plano dado basta fazer o produto vetorial entre o vetor diretor da reta e do vetor normal do plano para obter o normal do plano procurado.
\\\vec{d}=(1,-1,2)\\\vec{n}=(2,2,-3)\\\vec{d}\times\vec{n}=\left|\begin{matrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-1&2\\2&2&-3\end{matrix}\right|=(-1,7,4)

Agora, com o vetor normal do plano procurado e mais um ponto (já que a reta está contida no plano, o ponto (2,1,3) pertence ao plano):
\\-x+7y+4z+d=0\\-(2)+7(1)+4(3)+d=0\\d=2-7-12=-17

Substituindo e trocando sinal (para ficarmos com o x positivo) temos:
\\x-7y-4z+17=0

Espero ter ajudado!