Encontre as medidas dos lados do paralelogramo

Relembrando a primeira mensagem :

Num paralelogramo ABCD, as bissetrizes de A e B, não-opostos, interceptam-se em um ponto M, situado sobre o lado CD. Encontre as medidas dos lados do paralelogramo, sabendo que seu perímetro é 24m

Mhiime, acho que você está confundindo algumas coisas

alternos internos é para provar que os angulos são iguais e não que as medidas também vão ser.

Elcioschin, esse deu trabalho, vários erros no caminho mas no final deu certo.

killua05 escreveu:Mhiime, acho que você está confundindo algumas coisas

alternos internos é para provar que os angulos são iguais e não que as medidas também vão ser.

Elcioschin, esse deu trabalho, vários erros no caminho mas no final deu certo.

Desculpe tinha esquecido de escrever o resto na explicação olhe dinovo, ja arrumei

Não estou confundindo não

, olhe para tu ver o a vai ficar igual ao a, e o b vai ficar igual ao b. ai os lados vai ficar igual , como os ângulos são igual vai forma um triângulo isósceles por isso os lados são iguais também .Tenho quase certeza que é isso que justifica .
E a resposta bateu com a do gabarito

Mhiime

Fiz algumas correções no meu texto anterior (eu tinha considerado, erradamente, o perímetro como sendo 48 e o correto é 24)

Quanto ao resto, infelizmente eu e o killua05 estamos com a razão: você não provou que CM = DM, com esta sua última explicação. Você provou APENAS que:

1) D^MA = DÂM = a -----> Triângulo DAM é isósceles -----> DM = DA = x
2) C^MB = C^BM = b ----> Triângulo CBM é isósceles -----> CM = CB

Pelo teorema dos ângulos alternos e internos SOMENTE é possível provar igualdade de ângulos. Este teorema NÃO envolve COMPRIMENTOS.

Assim, infelizmente você NÃO conseguiu provar que CM = DM.

Você apenas supôs que fossem iguais e, por mera coincidência, chegou na resposta correta.

Agora entendi , desculpe por ter temado com vocês ,eu estava errado mesmo .

Elcioschin escreveu:AM² = AD² + DM² - 2*AD*DM*cos2b -----> AM² = 2x² - 2x²cos2b
BM² = BC² + CM² - 2*BC*CM*cos2a ------> BM² = 2y² - 2y²cos2a

Acontece que a + b = 90º ----> Triângulo AMB é retângulo em M:

AB² = AM² + BM² -----> (x + y)² = 2x² + 2y² = 2x²cos2b - 2y²cos2a

Substituindo b por a e simplificando chega-se a x = y ----> DM = CM

desculpa Elcioschin, não quero ser chato mas não to chegando x=y

AB² = AM² + BM²
(x + y)² = 2x² -2x²cos2b + 2y² -2y²cos2a
(x + y)² = 2x² + 2y² -2x²cos2b -2y²cos2a

-2x²cos2b = -2x²(cos²b - sen²b) = -2x²cos²b +2x²sen²b = -2x²sen²a +2x²cos²a
-2y²cos2a = -2y²(cos²a - sen²a) = -2y²cos²a +2y²sen²a

(x + y)² = 2x² + 2y² -2x²sen²a +2x²cos²a -2y²cos²a +2y²sen²a
(x + y)² = 2x² + 2y² -sen²a(2x² - 2y²) +cos²a(2x² - 2y²)
(x + y)² = 2x² + 2y² +(2x² - 2y²)(cos²a - sen²a)

acho que era para ter chegado em (cos²a + sen²a) assim
(x + y)² = 2x² + 2y² + 2x² - 2y²
(x + y)² = 4x²
3x² - 2xy - y² = 0

Mhiime/killua05

Nelson Rodrigues, já falecido, foi um célebre jornalista e escritor.
Ele criou o termo "óbvio ululante" para designar uma coisa tão óbvia, mas que, por ser tão evidente ninguém nota.

Mhiime se desculpou por ser teimoso. Não há motivo para se desculpar Mhiime.
Você apenas tentou provar que AD = DM através do teorema dos ângulos alternos e internos, o que não é possível, como foi explicado. Assim, você foi apenas persistente e isto é uma coisa boa. Todos devem tentar defender suas convicções.

Eu, por meu lado, me preocupei mais em mostrar que Mhiime não estava certo, do que mostrar claramente qual era a demonstração certa. Com isto eu não percebí o óbvio ululante e parti para uma solução muito complicada.

Vamos pois tratar do óbvio ululante:

1) Mhiime e eu provamos, corretamente, que os triângulos DMA e CMB eram isósceles.

2) Uma conclusão óbvia ululante foi que DM = AD e CM = BC

3) A conclusão óbvia e ululante que nenhum de nós viu foi que, num paralelogramo os lados opostos são IGUAIS, isto é:

AD = BC = x -----> Como BM = AD e CM = BC -----> CM = DM = x

Assim ----> AB = CD = CM + DM ----> AB = CD = 2x

Agora sim:

AB + BC + CD + AD = 24 -----> 2x + x + 2x + x = 24 ----> x = 4


Lados do paralelogramo:

AD = BC = x ----> AD = BC = x -----> AD = BC = 4
AB = CD = 2x ---> AB = CD = 2x ---> AB = CD = 8

Obs.: a solução complicada usando o teorema dos cossenos não dá certo porque existem duas equações e TRÊS incógnitas (x, y, a)

Um abraço para os dois!!!!!