Encontre as medidas dos lados do paralelogramo

Relembrando a primeira mensagem :

Num paralelogramo ABCD, as bissetrizes de A e B, não-opostos, interceptam-se em um ponto M, situado sobre o lado CD. Encontre as medidas dos lados do paralelogramo, sabendo que seu perímetro é 24m

Pois é bissetriz e formo dois triângulos com o caso de LAL

Explicando melhor para o Rodrigo

Seja, no desenho AB o lado superior (A à esquerda) e D o vértice inferior esquerdo.

Veja que:

 = 2a ----> ^D = 2a
^B = 2b ---> ^C = 2b

2a + 2b = 180º ----> a + b = 90º ----> b = 90º - a

No triângulo AMD ----> BÂM + A^BM + A^MD = 180º ----> a + 2b + A^MD = 180º

a + 2*(90º - a) + A^MD = 180° -----> A^MD = a

Logo, o triângulo BAM é isóceles (tem dois ângulos a) -----> AM = AB

De modo similar prova-se que CM = BC

Assim, no desenho está parecendo que AM = CM mas não é.

olá, não entendi.

para mim está muito estranho.

esse é o desenho: ?

https://2img.net/r/ihimg/photo/my-images/51/semttuloqv.jpg/

Não, não é este o desenho

Eu escreví errado na minha mensagem: D é o vértice inferior esquerdo. Já corrigi

Além disso o desenho tem um erro seu:

O ponto M não é o ponto médio de CD

AM deve ser bissetriz do ângulo BÂM.
Isto significa que DÂM = BÂM = a
No teu desenho DÂM < BÂM
Se você fizer isto o ponto M fica um pouco mais a direita

Pelo mesmo motivo a bissetriz BM divide o ângulo A^BC em dois ângulos iguais:
A^BM = C^BM = b

No seu desenho A^BM > C^BM

Para corrigir faça o paralelogramo mais comprido para a direita.

agora sim,

Logo, o triângulo BAM é isóceles (tem dois ângulos a) -----> AM = AB

Elchioschin, acho que é AM=BM

os valores encontrado por Mhiime é valido?

esse paralelogramo não é regular, correto??

porque os angulos da bases da dois triangulos são iguais, por isso virou um triangulo isosceles.
ai o lado CD foi divido .
axo que está certo sim .

Eu cometí outros erros. Vou começar do zero, postando o desenho:






No paralelogramo: 2a + 2b = 180º ---> a + b = 90º ---> b = 90º - a ---> a = 90º - b

No triângulo AMD: DÂM + A^DM + A^MD = 180º ----> a + 2b + A^MD = 180º ---->

a + 2*(90º - a) + A^MD = 180º ----> A^MD = a

Logo: triângulo AMF é isósceles (A^DM = A^MD = a) ----> AD = MD


De modo similar:


No triângulo BMC: C^BM + B^CM + B^MC = 180º ----> b + 2a + B^MC = 180º ---->

b + 2*(90º - b) + B^MC = 180º ----> B^MC = b

Logo: triângulo BMC é isósceles (C^BM = C^MB = b) ----> BC = MC


Faltou provar que DM = CM:

Seja AD = DM = x e CB = CM = y

AM² = AD² + DM² - 2*AD*DM*cos2b -----> AM² = 2x² - 2x²cos2b
BM² = BC² + CM² - 2*BC*CM*cos2a ------> BM² = 2y² - 2y²cos2a

Acontece que a + b = 90º ----> Triângulo AMB é retângulo em M:

AB² = AM² + BM² -----> (x + y)² = 2x² + 2y² = 2x²cos2b - 2y²cos2a

Substituindo b por a e simplificando chega-se a x = y ----> DM = CM

Assim, o lados do paralelogramo medem 2x e x:

x + x + 2x + 2x = 24 ----> 6x = 24 ----> x = 4

Lados do paralelogramo: 8 e 4

então está correto , o que eu fiz?

Mhiime

Não está certo não, porque você não provou que DM = CM

Elcio acho que está correto sim olhe o desenho

DM= CM , pelo caso de alternos internos, a com o a de baixo , e o b com o b vao ser iguais . intuam vai formar triângulo isósceles então os lados também vão ser igual , issó prova que DM=CM (ACRESCENTEI , TINHA ESQUECIDO DE ESCREVER)

olhe que y=2x
x+x+2y=24
2x+4x=24
x=4
y=8

e o perimetro será 24