Derivada- area máxima com identidades trigo..

por vnlvih Sáb 09 Dez 2017, 10:03

Um canal de drenagem deve ser feito de tal forma
que a secção transversal é um trapézio com os lados
igualmente inclinados (Figura 02).
Se os lados e a base tiverem um comprimento de 5 m,
como escolher o ângulo ( $0\leq \Theta \leq 90°$ ), de forma que a
área da secção transversal seja máxima ?

Derivada- area máxima com identidades trigo.. Sem_ty10

Pela minha resolução relacionando a area com o seno de teta e o cos de teta consegui chegar até a seguinte parte:

$A(\Theta )=b^{2}.(cos\Theta\cdot sen\Theta +sen\Theta )$

Depois disso não consegui mais dar continuidade pois não sei quais os próximos passos a seguir o resultado é de 60°

b-base menor

por evandronunes Sáb 09 Dez 2017, 13:12

Veja a figura abaixo:

Derivada- area máxima com identidades trigo.. Trazpe10

Temos que h = 5.sen \theta e, x=5.cos \theta .

Logo, a base maior mede 10.cos \theta +5 .

A área do trapézio é A=h.(5 +10.cos \theta +5)/2 .

Assim, a área do trapézio em função de \theta, será A(\theta)= 25.(sen \theta \cdot cos \theta + sen \theta) .

Derivando A(\theta), temos:

A'(\theta)= 25.[cos\theta \cdot cos \theta + sen \theta \cdot (-sen \theta)+ cos \theta]

A'(\theta)= 25.(cos ^2 \theta - sen^2 \theta+ cos \theta)

Como sen^2 \theta = 1 - cos ^2 \theta , vem:

A'(\theta)= 25.(2cos ^2 \theta+ cos \theta -1)

Igualando a 0, temos:

25.(2cos ^2 \theta+ cos \theta -1) =0

Resolvendo por Bhaskara, temos que cos \theta=1/2 ou cos \theta=-1 .

Logo, \theta=60^{\circ} ou \theta= \pi .

Como 0 \leq \theta \leq 90^{\circ} , logo \theta=60^{\circ} é a solução.

Derivada- area máxima com identidades trigo..

Derivada- area máxima com identidades trigo..

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