Fatoração

Sendo X=x^3-y^3+3xy(2x+y) e Y=y^3-x^3+3yx(2y+x) então x^3 + y^3 é igual a:
a)27xy(x+y)(x²+xy+y²)
b)x^3y^3(x+y)^3(x²+xy+y²)^3
c)x^3y^3(x+y)(x²+xy+y²)^3
d)xy(x+y)(x²+xy+y²)^3
e)27xy(x+y)^3(x²+xy+y²)^3

É para achar X³ + Y³ né?
Então...

X = x^3-y^3+3xy(2x+y) = (x - y)³ + 9x²y
Y = y^3-x^3+3yx(2y+x) = -(x - y)³ + 9y²x

X³ + Y³
(X + Y)(X² - XY + Y²)
(X + Y)((X + Y)² - 3XY)

Substituindo os valores de X e Y dados no enunciado:

((x - y)³ + 9x²y -(x - y)³ + 9y²x)(((x - y)³ + 9x²y -(x - y)³ + 9y²x)²-3((x - y)³ + 9x²y)(-(x - y)³ + 9y²x)
(9xy(x+y))((9xy(x+y))² + 3((x - y)^6 - 9y²x(x-y)³ + 9x²y(x-y)³ - 9²(xy)³)

Vamos primeiro mexer com essa parte "(9xy(x+y))² + 3((x - y)^6 - 9y²x(x-y)³ + 9x²y(x-y)³ - 9²(xy)³"

9²(xy)²(x²+xy+y²+xy) + 3((x - y)^6 + 9xy(x - y)³(x - y) - 9²(xy)³
9²(xy)²(x²+xy+y²) + 9²(xy)³ + 3(x - y)^6 + 27xy(x - y)^4 - 3.9²(xy)³
9²(xy)²(x²+xy+y²) + 3(x - y)^4((x - y)² + 9xy) - 2.9²(xy)³
9²(xy)²(x²+xy+y²) + 3(x - y)^4(x²+xy+y²) + 3(x-y)^4.6.xy - 2.9².(xy)³
9²(xy)²(x²+xy+y²) + 3(x - y)^4(x²+xy+y²) + 18xy((x - y)^4 - (3xy)²)
9²(xy)²(x²+xy+y²) + 3(x - y)^4(x²+xy+y²) + 18xy((x - y)² -  3xy)((x - y)² + 3xy)
9²(xy)²(x²+xy+y²) + 3(x - y)^4(x²+xy+y²) + 18xy(x² - 5xy + y²)(x² + xy + y²)
(x² + xy + y²)(9²(xy)² + 3(x - y)^4 + 18xy(x² - 5xy + y²))
3(x² + xy + y²)(27(xy)² + (x - y)^4 + 6xy(x² - 5xy + y²))
3(x² + xy + y²)(18(xy)² + (3xy)² + (x - y)^4 + 6xy(x² - 5xy + y²))
3(x² + xy + y²)(18(xy)² + (3xy + (x - y)²) - 2.3xy.(x - y)² + 6xy(x² + xy + y² - 6xy))
3(x² + xy + y²)(18(xy)² + (x² + xy + y²)² - 6xy(x - y)² + 6xy(x² + xy + y²) - 36(xy)²)
3(x² + xy + y²)(18(xy)² + (x² + xy + y²)² + 6xy(x² + xy + y² - x² + 2xy - y²) - 36(xy)²)
3(x² + xy + y²)(16(xy)² + (x² + xy + y²)² +18(xy)² - 36(xy)²)
3(x² + xy + y²)(x² + xy + y²)²
3(x² + xy + y²)³

Substituindo o que foi encontrado lá em cima:

(9xy(x+y))((9xy(x+y))² + 3((x - y)^6 - 9y²x(x-y)³ + 9x²y(x-y)³ - 9²(xy)³)
9xy(x + y)(3(x² + xy + y²)³)
27xy(x + y)(x² + xy + y²)³

Ficou um pouco grande por que tentei fazer o mais detalhado possível, um outro jeito, talvez até mais rápido, seria:

Desenvolvendo "(x - y)³ + 9x²y -(x - y)³ + 9y²x)²-3((x - y)³ + 9x²y)(-(x - y)³ + 9y²x)" você chegaria em:

3.(x^6 + 3x^5y + 6x^4y^2+7x^3y^3+6x^2y^4+3xy^5+y^6)

Daqui fica fácil fatorar em 3.(x² + xy + y²)³

Eu já tinha começado a fazer daquele jeito ali de cima, então deixei assim mesmo .