Máximo e mínimo
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Máximo e mínimo
por Giovana Martins 18/11/2017, 8:15 pm
Para qual valor de x a expressão M=2y²+2xy+x²-6y+16 toma o seu valor mínimo?
Como eu posso resolver este exercício sem utilizar noções de Cálculo? Eu achei esta questão em uma apostila voltada para o ensino médio.
Como eu posso resolver este exercício sem utilizar noções de Cálculo? Eu achei esta questão em uma apostila voltada para o ensino médio.
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Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Máximo e mínimo
por evandronunes 19/11/2017, 1:38 pm
Temos:
M=2y^2+2xy+x^2-6y+16
M=(y^2+2xy+x^2)+(y^2-6y+9)+7
M=(y+x)^2+(y-3)^2+7
Como(y+x)^2 \geq 0 e (y-3)^2 \geq 0 , para todo x,y real, logo o menor valor de M será 7.
Isto ocorrerá quando(y+x)^2 =0 e (y-3)^2 = 0 .
Portando,y=3 e x=-3 .
Abaixo tem o gráfico da equação.
Como
Isto ocorrerá quando
Portando,
Abaixo tem o gráfico da equação.
evandronunes- Jedi
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Re: Máximo e mínimo
por Giovana Martins 19/11/2017, 1:52 pm
Muito obrigada, Evandro. Saberia me dizer se a forma que eu fiz, utilizando Cálculo, está correta? Veja:
Eu posso admitir "y" como uma constante e desenvolver a questão como eu fiz?
Nota: creio que meu gabarito esteja incorreto, portanto.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: Máximo e mínimo
por CaiqueF 19/11/2017, 2:01 pm
2y²+2xy+x²-6y+16
x² + 2yx + (2y²-6y+16)
Observe que temos uma equação do segundo grau em x.
O valor de x que faz a expressão ter valor mínimo é x = -b/a = -2y/2 = -y
Assim, substituindo y por -x:
x² + 2yx + (2y²-6y+16)
x² - 2x² + (2x²+6x+16)
x² + 6x + 16
Xv = -b/2a = -6/2 = -3
x² + 2yx + (2y²-6y+16)
Observe que temos uma equação do segundo grau em x.
O valor de x que faz a expressão ter valor mínimo é x = -b/a = -2y/2 = -y
Assim, substituindo y por -x:
x² + 2yx + (2y²-6y+16)
x² - 2x² + (2x²+6x+16)
x² + 6x + 16
Xv = -b/2a = -6/2 = -3
CaiqueF- Monitor
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Re: Máximo e mínimo
por Giovana Martins 19/11/2017, 2:06 pm
Obrigada por confirmar, Caique! Achei que estaria errado admitir que "y" fosse uma constante. Cálculo é muito fera. Ele reduz os esforços haha. Novamente, obrigada, Evandro e Caique!
Giovana Martins- Grande Mestre
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