Equação trigonométrica

por dani1801 Seg 14 Ago 2017, 16:32

Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0;2pi] que satisfazem a equação cos^2 2x = 1/2 - sen ^2 x

resp: pi/4, 3pi/4, 5pi/4, 7pi/4, pi/6, 5pi/6, 7pi/6, 11pi/6.

por nishio Ter 15 Ago 2017, 12:51

Vamos lá!
$cos 2x = cos^2x-sen^2x\\ cos2x=1-sen^2x-sen^2x\\ cos2x=1-2sen^2x\\$
$cos^22x=(1-2sen^2x)^2\\ cos^22x=1-4sen^2x+4sen^4x$

Substituindo na equação procurada, temos:
$1-4sen^2x+4sen^4x=\frac{1}{2}-sen^2x\\ 2 - 8sen^2x+8sen^4x=1-2sen^2x\\ 8sen^4x-6sen^2x+1=0$

Fazendo sen² x = y, temos:
8y² - 6y + 1 = 0
y₁ = 1/2 ou y₂ = 1/4

Substituindo os valores de y, temos:
sen² x = 1/2 ----> sen x = ±√2/2
sen² x = 1/4 ----> sen x = ±1/2

Resolvendo as equações:
sen x = √2/2 ---> x = pi/4 ou x = 3pi/4

sen x = -√2/2 ---> x = 5pi/4 ou x = 7pi/4

sen x = 1/2 ---> x = pi/6 ou x = 5pi/6

sen x = -1/2 ---> x = 7pi/6 ou x = 11pi/6

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